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Einführung zur Greenschen Funktion:
Die Greensche Funktion ist ein wesentliches Konzept in der theoretischen Physik und Elektrotechnik zur Lösung von Differentialgleichungen, insbesondere der Poisson- und Laplace-Gleichungen. Sie stellt eine fundamentale Antwort eines Systems auf eine punktförmige Anregung dar. Für das elektrostatische Potential, welches durch eine Poisson-Gleichung beschrieben wird, ermöglicht die Greensche Funktion die Berechnung des Potentials an einem Punkt, der durch eine Quellverteilung im Raum beeinflusst wird.
Das spezifische Problem hier betrachtet ein zweidimensionales Szenario, in dem die Ladungsverteilung entlang der \(z\)-Achse homogen ist, führt uns also zu einer Betrachtung in der \(\rho-\phi\)-Ebene (zylindrische Koordinaten ohne \(z\)-Abhängigkeit).
Herleitung der Greenschen Funktion aus der Poisson-Gleichung:
Die Poisson-Gleichung im dreidimensionalen Raum ist gegeben durch:
\(
\Delta \Phi(\vec{r}) = -\frac{\rho(\vec{r})}{\varepsilon_0}
\)
In einem zweidimensionalen Raum (oder bei Translationsinvarianz entlang einer Achse) reduziert sich dies zur Form:
\(
\Delta \Phi(\rho) = -\frac{\rho_L}{\varepsilon_0}
\)
wobei \(\Delta\) der Laplace-Operator in zwei Dimensionen ist und \(\rho_L\) die Linienladungsdichte. Die Greensche Funktion \(G(\vec{r}, \vec{r'})\) erfüllt die Differentialgleichung:
\(
\Delta G(\vec{r}, \vec{r'}) = \delta(\vec{r} - \vec{r'})
\)
Dadurch, dass das Problem keine Abhängigkeit von \(\phi\) oder \(z\) aufweist, reduziert sich diese Gleichung auf eine Funktion in \(\rho\), was zu einer Lösung in der Form von \(G(\rho)\) führt, die nur von der radialen Entfernung abhängt.
Verwendung des Gaußschen Satzes:
Der Gaußsche Satz erlaubt die Umformulierung der Poisson-Gleichung in eine Integralform, die die Grundlage für die Lösung hinsichtlich des Potentials bietet. Da wir eine homogene Linienladung entlang der \(z\)-Achse haben, fällt diese direkt aus der Betrachtung für die Lösung in der \(\rho\)-Ebene heraus. Das bedeutet, dass wir uns auf den zweidimensionalen Fall konzentrieren können, wo die Poisson-Gleichung eine Lösung in der Form des obigen Potentials \(\phi(\rho)\) hat.
Herleitung der spezifischen Greenschen Funktion:
Die gegebene Lösung für das Potential ist:
\(
\phi(\rho)=-\frac{\rho_L \ln(\rho)}{2 \pi \varepsilon_0}
\)
Da die Greensche Funktion eine Lösung der Gleichung \(\Delta G = \delta(\rho)\) ist und wir eine ähnliche Form im berechneten Potential erkennen, identifizieren wir die Ähnlichkeit zwischen der Struktur der Lösung für \(\phi\) und der Struktur, die wir für die Greensche Funktion erwarten.
Durch diesen Vergleich und die Anpassung an die \(\delta\)-Funktion, die eine Punktquelle repräsentiert, ist die spezifische Form der Greenschen Funktion, die der gegebenen Aufgabenstellung entspricht, wie folgt:
\(
G(\vec{r}, \vec{r'})=-\frac{\ln(\rho / \mathrm{m})}{2 \pi \varepsilon_0}
\)
Hierbei ist \(\mathrm{m}\) eine Konstante mit der Dimension einer Länge, um die Dimensionalität korrekt zu halten und \( \rho \) ist der Abstand zur Quelle in der \(\rho-\phi\)-Ebene.
Zusammenfassung:
Die Herleitung basiert auf dem Verständnis, dass die Greensche Funktion die Antwort des Systems auf eine Punktquelle beschreibt und im Falle der Translationsinvarianz entlang einer Achse als zweidimensionales Problem betrachtet werden kann. Durch Vergleich mit dem elektrostatischen Potential, das durch eine Linienladung erzeugt wird, und dessen Lösung durch die Poisson-Gleichung, lässt sich die Greensche Funktion direkt ableiten.
