Berechnen Sie den Drehwinkel in Grad. Triangulation, Kleinwinkel, Brille

Question

Aufgabe:

VR Brillen berechnen jedes Bild aus den Perspektiven beider Augen. Dabei sehen linkes und rechtes Auge jeweils ein leicht gedrehtes Bild der gezeigten Szene. Der Augenabstand beträgt bei Männern durchschnittlich 65 mm. Wie stark muss ein Objekt gedreht erscheinen damit es mit genau einem Meter Abstand zu sehen ist.

(a) Skizzieren Sie die beschriebene Szenerie inklusive der relevanten Winkel.

(b) Berechnen Sie den Drehwinkel in Grad.

(c) Geben Sie den Drehwinkel in Grad, Bogenminuten und Bogensekunden , sowie mrad an.

Comments

hast du die Skizze gemacht? sie reicht in 2d, stelle einem Auge deine Strecke mit Mittelpunkt senkrecht zum Auge gegenüber, dann den Winkel des anderen Auges zum selben Punkt, daraus solltest du alles ablesen können.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Aufgabe (a) Skizzieren der Szenerie

Diese Antwort kann keine grafischen Skizzen generieren, aber ich kann die Anordnung beschreiben:

Stellen Sie sich vor, Sie blicken auf eine VR-Szene, wobei Ihre Augen 65 mm oder 6,5 cm voneinander entfernt sind. Das Sichtfeld jedes Auges konvergiert auf einen Punkt auf dem Objekt, das sich 1 Meter oder 100 cm entfernt befindet. Von jedem Auge geht eine Linie aus, die den Punkt berührt, den Sie ansehen. Diese Linien bilden zusammen mit der Linie, die Ihre Augen verbindet, im Wesentlichen ein Dreieck. Die Basis dieses Dreiecks (die Linie zwischen Ihren Augen) ist 6,5 cm lang, und die Linien vom Objektpunkt zu jedem Auge bilden die anderen Seiten des Dreiecks. Der relevante Winkel ist der, welcher an dem Objektpunkt zwischen den beiden Linien, die zu den Augen führen, entsteht.

Aufgabe (b) Berechnen des Drehwinkels in Grad

Um den Winkel θ zu berechnen, den das Objekt gedreht erscheinen muss, können wir die Annäherung der Kleinwinkel-Näherung verwenden, da der Augenabstand im Vergleich zur Entfernung des Objekts klein ist. Bei dieser Näherung gilt, dass der Tangens eines Winkels (in Radiant) ungefähr gleich seinem Sinus und auch etwa gleich dem Winkel selbst (in Radiant) ist, für sehr kleine Winkel. Die Formel lautet:

$\tan(\theta) \approx \sin(\theta) \approx \theta \text{ (in Radiant)}$

Die relevante Formel zur Berechnung des Tangens des Winkels basierend auf der Geometrie des betrachteten Dreiecks ist:

$\tan(\theta) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{\text{Augenabstand}}{\text{Objektabstand}}$

Da der Augenabstand $6,5 cm$ und der Objektabstand $100 cm$ ist, ist

$\tan(\theta) = \frac{6,5 cm}{100 cm} = 0,065$

Mit der Kleinwinkel-Näherung können wir jetzt den Winkel direkt in Radiant approximieren:

$\theta \approx \tan(\theta) = 0,065$

Um von Radiant zu Grad zu konvertieren, verwenden wir die Tatsache, dass $180°$ in $\pi$ Radiant entspricht:

$\theta \approx 0,065 \times \frac{180°}{\pi} \approx 3,723°$

Aufgabe (c) Umrechnung des Winkels

Ein Grad ist gleich 60 Bogenminuten und eine Bogenminute ist gleich 60 Bogensekunden. Um den Winkel $3,723°$ in Grad, Bogenminuten und Bogensekunden umzurechnen:

- Grad: $3°$
- Nach dem Entfernen der ganzen Grade bleiben $0,723°$. Um dies in Bogenminuten umzurechnen: $0,723 \times 60' \approx 43,38'$
- Bogenminuten: $43'$
- Die dezimale Form von Bogenminuten umgerechnet in Bogensekunden: $0,38' \times 60" \approx 22,8"$
- Bogensekunden: $22,8"$

Also, der Winkel in Grad, Bogenminuten und Bogensekunden ist etwa 3°43'22,8"\".

Um den Winkel auch in Milliradiant (mrad) anzugeben, verwenden wir die Umrechnung von Radiant zu mrad, wobei $1 rad = 1000 mrad$. Da wir bereits den Winkel in Radiant als $0,065$ approximiert haben:

$\theta_{mrad} = 0,065 \times 1000 mrad = 65 mrad$

Zusammenfassend:

- Drehwinkel in Grad: $3,723°$
- Drehwinkel in Grad, Bogenminuten und Bogensekunden: $3°43'22,8"$
- Drehwinkel in mrad: $65 mrad$