Antwort mit KI erzeugt
Da ich die Bilder nicht direkt betrachten oder evaluieren kann, werde ich einen allgemeinen Überblick über die Ausgangsfunktionen eines P-Gliedes, I-Gliedes und eines PT1-Gliedes geben und erläutern, wie man diese mathematisch bestimmt. Ich hoffe, diese Informationen ermöglichen dir eine Kontrolle und ein besseres Verständnis deiner eigenen Lösungen.
P-Glied (Proportionalglied)
Ein P-Glied ist durch eine direkte proportionale Beziehung zwischen dem Ausgang und dem Eingang charakterisiert. Das bedeutet, der Ausgang \(y(t)\) ist proportional zum Eingang \(x(t)\) über einen Proportionalitätsfaktor \(K_p\).
Die mathematische Beschreibung lautet:
\(
y(t) = K_p \cdot x(t)
\)
Wenn du die Funktion in einem Diagramm zeichnest, solltest du also eine Gerade sehen, die durch den Ursprung geht, wobei die Steigung der Geraden durch den Proportionalitätsfaktor \(K_p\) bestimmt wird.
I-Glied (Integralglied)
Ein I-Glied ist dadurch charakterisiert, dass der Ausgang die integrierte Form des Eingangssignals darstellt, multipliziert mit einem Faktor \(K_i\), der die Intensität der Integration darstellt.
Die mathematische Formel lautet:
\(
y(t) = K_i \int x(t) \,dt
\)
Bei einem konstanten Eingangssignal wird die Ausgangsfunktion daher eine Steigung entsprechend der Höhe des Eingangssignals aufweisen. Wenn du dies graphisch darstellst, ergibt sich eine Kurve, deren Steigung über die Zeit zunimmt, sofern das Eingangssignal konstant ist.
PT1-Glied (Proportional-Verzögerungsglied erster Ordnung)
Das PT1-Glied wird durch eine Differentialgleichung erster Ordnung beschrieben, welche die physikalischen Vorgänge wie Wärmeübertragung oder elektrische RC-Glieder modelliert. Die Standardform der Differentialgleichung ist:
\(
T \cdot \frac{d}{dt}y(t) + y(t) = K \cdot x(t)
\)
Dabei ist \(T\) die Zeitkonstante, die angibt, wie schnell das System auf Eingangsänderungen reagiert, und \(K\) ist der Proportionalitätsfaktor.
Die Übertragungsfunktion eines PT1-Gliedes im Laplace-Bereich sieht wie folgt aus:
\(
G(s) = \frac{K}{1 + T \cdot s}
\)
Für einen Sprungeingang \(x(t) = u(t)\) ergibt sich die Ausgangsfunktion \(y(t)\) als:
\(
y(t) = K \cdot (1 - e^{-\frac{t}{T}}) \cdot u(t)
\)
Graphisch entspricht dies einer exponentiellen Annäherung an den Endwert \(K\), beginnend bei \(0\) zum Zeitpunkt \(t = 0\) und sich asymptotisch dem Wert \(K\) annähernd für \(t \rightarrow \infty\).
Wenn die graphischen Ergebnisse, die du erzielt hast, nicht diesen Beschreibungen entsprechen, solltest du die spezifischen Berechnungen und Annahmen, die du verwendet hast, noch einmal überprüfen. Insbesondere ist es wichtig, die Werte von \(K_p\), \(K_i\), \(K\) und \(T\) zu kennen, um genauere Berechnungen durchführen zu können.
