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Berechnung der Geschwindigkeit eines Steins (a)
Um die Geschwindigkeit eines geworfenen Steins zu berechnen, müssen wir den Zusammenhang zwischen der Kraft \(F\), der Zeit \(t\), über die die Kraft wirkt, und der dadurch verursachten Veränderung des Impulses (Massen mal Geschwindigkeit) des Steins verwenden.
Die Kraft \((F)\) ist über die Zeit \((t)\) die einzige Ursache für die Veränderung des Impulses \((\Delta p)\) des Steins. Die Formel für den Impuls lautet:
\(
\Delta p = F \cdot t
\)
Der Impuls ist auch das Produkt aus Masse \((m)\) und der Geschwindigkeit \((v)\):
\(
\Delta p = m \cdot v
\)
Setzt man beide Formeln gleich, ergibt sich:
\(
F \cdot t = m \cdot v
\)
Daraus lässt sich die Geschwindigkeit \(v\) berechnen:
\(
v = \frac{F \cdot t}{m}
\)
Für einen Stein mit \(m_{\mathrm{S}}=5 \mathrm{~kg}\), einer Kraft von \(F=50 \mathrm{~N}\) und einer Wirkungsdauer von \(t=0.4 \mathrm{~s}\) lautet die Rechnung:
\(
v = \frac{50 \mathrm{~N} \cdot 0.4 \mathrm{~s}}{5 \mathrm{~kg}} = \frac{20}{5} \mathrm{~m/s} = 4 \mathrm{~m/s}
\)
Geschwindigkeit des Wagens bei gleichzeitigem Abwurf beider Steine (b)
Nach dem dritten Newtonschen Gesetz (Actio = Reactio) muss die Aktion des Mannes, die Steine zu werfen, eine gleich große, aber entgegengesetzte Reaktion auf das System Mann-Wagen ausüben.
Das System Mann-Wagen-Stein hat vor dem Abwurf den Gesamtimpuls Null, da es in Ruhe ist. Der Gesamtimpuls muss auch nach dem Abwurf Null sein. Der Impuls, den die Steine nach dem Abwurf besitzen, muss also durch einen gleich großen, aber entgegengesetzten Impuls des Systems Mann-Wagen ausgeglichen werden.
Da beide Steine die Masse \(2 \cdot m_{\mathrm{S}} = 2 \cdot 5 \mathrm{~kg} = 10 \mathrm{~kg}\) haben und mit \(v = 4 \mathrm{~m/s}\) geworfen werden, ist der Gesamtimpuls der Steine:
\(
p_{\mathrm{Steine}} = 2 \cdot m_{\mathrm{S}} \cdot v = 10 \mathrm{~kg} \cdot 4 \mathrm{~m/s} = 40 \mathrm{~kg \cdot m/s}
\)
Dieser Impuls muss dem Impuls des Systems Mann-Wagen entsprechen. Angenommen die Geschwindigkeit des Wagens (und des Mannes) sei \(v_{\mathrm{W}}\), dann ist der Gesamtimpuls des Systems:
\(
p_{\mathrm{Wagen}} = (m_{\mathrm{M}} + m_{\mathrm{W}}) \cdot v_{\mathrm{W}}
\)
und wir setzen \(p_{\mathrm{Wagen}} = p_{\mathrm{Steine}}\), um \(v_{\mathrm{W}}\) zu finden:
\(
40 = (80 \mathrm{~kg} + 60 \mathrm{~kg}) \cdot v_{\mathrm{W}}
\)
\(
v_{\mathrm{W}} = \frac{40}{140} \mathrm{~m/s} = \frac{2}{7} \mathrm{~m/s} \approx 0.286 \mathrm{~m/s}
\)
Geschwindigkeit des Wagens bei nacheinanderem Abwurf der Steine (c)
Bei einem nacheinander erfolgten Abwurf der Steine gelten die gleichen Prinzipien, allerdings muss hier bedacht werden, dass nach dem Abwurf des ersten Steins das System aus Wagen und verbleibendem Stein (zusammen mit dem Mann) eine Erhöhung der Geschwindigkeit erfährt, welche dann die Ausgangssituation für den Abwurf des zweiten Steins ist. Diese sequenzielle Aktion führt zu einem komplexeren Impulsübertrag, der im Rahmen dieser simplifizierten Betrachtung nicht direkt berechnet wurde, insbesondere weil sie eine detaillierte Betrachtung des Gesamtsystems und möglicherweise iterative Berechnungen für jede Aktion erfordert, was über eine einfache Anwendung der angegebenen Formeln und Konzepte hinausgeht.
