Ein Stein wird aus einem Hochhaus geworfen, wie hoch waren wir über dem Boden?

Question

Von einem oberen Fenster eines Hochhauses lassen wir einen Stein nach unten fallen. Wir hören genau 3,6 s nach dem Loslassen des Steines seinen Aufprall am Boden. Wie hoch waren wir über dem Boden, wenn die Schallgeschwindigkeit in Luft rund 333 m/s ist?

(Ergebnis: 57,6m)

Bitte mit Erklärung des Lösungsweges :)

Danke schonmal

Answer 1

Es muss gelten:

Fallzeit t _f + Schallzeit t _s = 3,6 s, also:

$${ t }_{ f }+{ t }_{ s }=3,6\Leftrightarrow { t }_{ s }=3,6-{ t }_{ f }$$

und

Fallweg s_f = Schallweg s_s, also:

$${ s }_{ f }=\frac { 1 }{ 2 }g{ { t }_{ f } }^{ 2 }={ v }_{ s }{ t }_{ s }={ s }_{ s }$$

 

Erste Gleichung in zweite Gleichung einsetzen:

$$\frac { 1 }{ 2 } g{ { t }_{ f } }^{ 2 }={ v }_{ s }(3,6-{ t }_{ f })$$

und nach t _f auflösen:

$$\Leftrightarrow \frac { 1 }{ 2 } g{ { t }_{ f } }^{ 2 }=3,6{ v }_{ s }-{ v }_{ s }{ t }_{ f }$$

$$\Leftrightarrow \frac { 1 }{ 2 } g{ { t }_{ f } }^{ 2 }+{ v }_{ s }{ t }_{ f }=3,6{ v }_{ s }$$

Auf beiden Seiten mit 2 / g multiplizieren:

$$\Leftrightarrow { { t }_{ f } }^{ 2 }+{ \frac { 2{ v }_{ s } }{ g }  }{ t }_{ f }=\frac { 7,2{ v }_{ s } }{ g } $$

Auf beiden Seiten die quadratische Ergänzung addieren:

$$\Leftrightarrow { { t }_{ f } }^{ 2 }+{ \frac { 2{ v }_{ s } }{ g }  }{ t }_{ f }+{ \left( \frac { { v }_{ s } }{ g }  \right)  }^{ 2 }=\frac { 7,2{ v }_{ s } }{ g } +{ \left( \frac { { v }_{ s } }{ g }  \right)  }^{ 2 }$$

Linke Seite mit Hilfe der ersten binomische Formel als Quadrat schreiben:

$$\Leftrightarrow { \left( { t }_{ f }+\frac { { v }_{ s } }{ g }  \right)  }^{ 2 }=\frac { 7,2{ v }_{ s } }{ g } +{ \left( \frac { { v }_{ s } }{ g }  \right)  }^{ 2 }$$

Wurzel ziehen:

$$\Leftrightarrow { t }_{ f }+\frac { { v }_{ s } }{ g } =\pm \sqrt { \frac { 7,2{ v }_{ s } }{ g } +{ \left( \frac { { v }_{ s } }{ g }  \right)  }^{ 2 } }$$

$$\Leftrightarrow { t }_{ f }=\pm \sqrt { \frac { 7,2{ v }_{ s } }{ g } +{ \left( \frac { { v }_{ s } }{ g }  \right)  }^{ 2 } } -\frac { { v }_{ s } }{ g } $$

Werte einsetzen:

$$\Leftrightarrow { t }_{ f }=\pm \sqrt { \frac { 7,2{ *333 } }{ 9,81 } +{ \left( \frac { { 333 } }{ 9,81 }  \right)  }^{ 2 } } -\frac { { 333 } }{ 9,81 }$$

$$\Leftrightarrow { t }_{ f }=\pm \sqrt { 1396,664 } -33,945$$

$$\Rightarrow { t }_{ { f }_{ 1 } }=-139,21,\quad { t }_{ { f }_{ 2 } }=3,427$$

Die negative Lösung entfällt, also:

$${ t }_{ { f } }=3,427s$$

Die Fallzeit beträgt also 3,427 Sekunden.

Einsetzen in die erste Formel (ganz oben) ergibt:

$${ t }_{ s }=3,6-3,427=0,173s$$

Die Schallzeit beträgt also 0,173 Sekunden.

Daraus ergibt sich für den Schallweg:

$${ s }_{ s }={ v }_{ s }{ t }_{ s }=333\frac { m }{ s } *0,173s=57,61m$$

Answer 2

hi

die 3,6s sind die summe aus der fallzeit des steins, die der stein benötigt, bis er aus der höhe h auf dem boden aufschlägt und der zeit des schalls, die der schall vom zeitpunkt des aufpralls bis zur höhe h braucht.

t = 3,6s = t_Fall + t_Schall

die fallzeit des steins beträgt t_Fall = ✓(2h/g) und der schall braucht t_Schall = h/v_Schall bis zur höhe h.

t = ✓(2h/g) + h/v_Schall | v:=v_Schall

t = ✓(2h/g) + h/v | - h/v

✓(2h/g) = t - h/v | diese gleichung wird quadriert, um die wurzel loszuwerden
2h/g = (t - h/v)²

2h/g  = t² - 2th/v + h²/v²

h²/v² - 2th/v - 2h/g + t² = 0

eine der beiden lösungen dieser quadratischen gleichung, deren lösungsweg einzutippen ich mir um diese uhrzeit spare, ergibt einen sinnvollen wert mit h ≈ 57,6m

mfg