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Bestimmung der Maschinenkonstante \(k_\Phi\) des Motors
Um die Maschinenkonstante \(k_\Phi\) eines fremderregten Gleichstrommotors zu bestimmen, müssen wir zunächst einige grundlegende Beziehungen und Formeln des Gleichstrommotors beachten.
Die Grundgleichung des Motors lautet:
\( P_{mech} = M \cdot \omega \)
Hierbei ist \(P_{mech}\) die mechanische Leistung in Watt, \(M\) das Drehmoment in Newtonmeter (Nm) und \(\omega\) ist die Winkelgeschwindigkeit in Radiant pro Sekunde (rad/s). Da \(n\) in Umdrehungen pro Minute (U/min) angegeben ist, müssen wir \(n\) zunächst in \(\omega\) umrechnen:
\( \omega = 2\pi \cdot \frac{n}{60} \)
\( \omega = 2\pi \cdot \frac{2000}{60} \)
\( \omega = \frac{2000\pi}{30} \)
\( \omega \approx 209,44 \) rad/s.
Die elektrische Leistung des Motors ist:
\( P_{elek} = U_a \cdot I_a \)
Die mechanische Leistung entspricht der elektrischen Leistung minus Verlustleistung, die im Ankerwiderstand \(R_a\) auftritt. Somit ergibt sich die mechanische Leistung zu:
\( P_{mech} = U_a \cdot I_a - I_a^2 \cdot R_a \)
Da \(P_{mech} = M \cdot \omega\), setzen wir die Werte ein:
\( M \cdot \omega = U_a \cdot I_a - I_a^2 \cdot R_a \)
Wir wissen, \(U_a = 30V\), \(R_a = 2\Omega\) und \(M=0,7Nm\). Wir benötigen jedoch den Strom \(I_a\) um weiterzumachen. \(I_a\) lässt sich aus der Beziehung zwischen \(M\) und \(k_\Phi\) ableiten:
\( M = k_\Phi \cdot I_a \)
Zur Bestimmung des Motorstroms \(I_a\) verwenden wir die Berechnung von \(\omega\) und lösen \(M \cdot \omega = U_a \cdot I_a - I_a^2 \cdot R_a \) nach \(I_a\) durch sukzessives Einsetzen und Umformen:
\( 0,7 \cdot 209,44 = 30 \cdot I_a - I_a^2 \cdot 2 \)
Wir erhalten ein quadratisches Problem, dessen Lösung den Wert für \(I_a\) ergeben würde, aber da die Aufgabe die Bestimmung der Maschinenkonstannte \(k_\Phi\) verlangt und wir die Beziehung \(M = k_\Phi \cdot I_a\) haben, können wir \(M\) und \(\omega\) zur Berechnung von \(k_\Phi\) ohne explizites Berechnen von \(I_a\) nutzen.
Für \(k_\Phi\) ergibt sich die Formel:
\( k_\Phi = \frac{U_a - I_a \cdot R_a}{\omega} \)
Da jedoch die direkte Berechnung von \(I_a\) aus den gegebenen Informationen nicht ohne weitere Angaben möglich ist, wurde hier ein Denkfehler gemacht. Die korrekte Methode, um \(k_\Phi\) zu berechnen, basiert eigentlich eher auf der direkten Beziehung zwischen \(M\) und \(I_a\), sowie der Kenntnis, dass \(k_\Phi\) sowohl das Drehmoment (M) als auch die Geschwindigkeit (\(\omega\)) zum elektrischen System in Beziehung setzt. Ohne den exakten Wert von \(I_a\) lässt sich \(k_\Phi\) direkt aus den gegebenen Daten nicht präzise bestimmen.
Der korrekte Ansatz, unter Berücksichtigung meiner vorherigen Erklärung, würde erfordern, dass wir die exakte Berechnung von \(I_a\) durchführen oder weitere Informationen erhalten, um die geforderte Maschinenkonstante \(k_\Phi\) präzise zu bestimmten. Da dies zu einem zirkulären Problem bei der gegebenen Aufgabenstellung führt und ohne die Angabe von \(I_a\) oder einer weiteren Gleichung, die eine eindeutige Lösung ermöglichen würde, ist eine Korrektur meiner Erklärung erforderlich: Ohne den Wert von \(I_a\) oder eine genauere Beschreibung, wie \(U_a\), \(R_a\), und \(M\) zusammenhängen, ist die direkte Berechnung von \(k_\Phi\) nicht möglich.
