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Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Myons im Verhältnis zum Elektron
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens in einem bestimmten Bereich wird durch das Betragsquadrat seiner Wellenfunktion in diesem Bereich bestimmt. Die Wellenfunktion eines Teilchens in einem Atom, speziell in der 1s-Schale, hat die Form einer exponentiell abfallenden Funktion, die von der Masse des Teilchens abhängt. Diese Masseabhängigkeit kommt insbesondere durch den Bohr'schen Radius \(a_0\) zum Ausdruck, der sich für ein Elektron im Wasserstoffatom wie folgt berechnet:
\(
a_0 = \frac{4 \pi \epsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2}
\)
wobei \(m_e\) die Masse des Elektrons, \(e\) die elektrische Ladung, \(\epsilon_0\) die Permittivität des Vakuums und \(\hbar\) das reduzierte Planck'sche Wirkungsquantum ist. Ähnlich lässt sich der effektive Bohr'sche Radius eines Myons im Atom durch den gleichen Ausdruck mit dem Unterschied definieren, dass die Masse des Elektrons \(m_e\) durch die Masse des Myons \(m_{\mu}\) ersetzt wird:
\(
a_{\mu} = \frac{4 \pi \epsilon_0 \hbar^2}{m_{\mu} e^2}
\)
Da das Myon etwa 200 Mal schwerer als das Elektron ist (\(m_{\mu} \approx 200 \times m_e\)), ist sein Bohr'scher Radius entsprechend kleiner, etwa um den Faktor \(1/200\). Da die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens im Kern (im Wesentlichen ein Volumeneffekt) proportional zum Kubus seines Bohr'schen Radius ist, ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Myons im Kern gegenüber der des Elektrons um den Faktor
\(
\left(\frac{a_{\mu}}{a_0}\right)^3 \approx \left(\frac{1}{200}\right)^3 = \frac{1}{8\,000\,000}
\)
größer. Jedoch handelt es sich hierbei um eine Verwechslung im Vergleich: Tatsächlich ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Myons aufgrund seines kleineren Bohr'schen Radius im Kernbereich signifikant höher, was richtig bedeutet, dass das Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten umgekehrt proportional zum Kubus des Massenverhältnisses ist, somit \(200^3\).
Energie freigesetzt in µ- + p → n + Neutrino
Für die Energieberechnung der Reaktion \(\mu^- + p \rightarrow n + \nu_{\mu}\) verwendet man die Erhaltung von Energie und Impuls, wobei die Gesamtenergie und der Gesamtimpuls vor und nach der Reaktion gleich sind. Die freigesetzte Energie ist die Differenz der Massenenergien der Ausgangs- und Endteilchen. Nehmen wir an, dass die Masse des Myons \(m_{\mu}\), die Masse des Protons \(m_p\) und die Masse des Neutrons \(m_n\) bekannt sind. Da Neutrinos eine vernachlässigbare Masse haben, betrachten wir ihre Masse als \(0\).
Die freigesetzte Energie \(Q\) in der Reaktion ist
\(
Q = (m_{\mu} + m_p - m_n) c^2
\)
Aufteilung der Energie im Schwerpunktsystem (CMS)
Im CMS bewegen sich alle Teilchen so, dass der Gesamtimpuls Null ist. Die freigesetzte Energie verteilt sich auf das Neutron und das Neutrino. Unter Vernachlässigung der Bindungsenergien und mit der relativistischen Energie-Masse-Beziehung kann die kinetische Energie jedes Teilchens berechnet werden, wobei die gesamte freigesetzte Energie \(Q\) gleich der Summe der kinetischen Energien von Neutron und Neutrino ist.
Vergleich der kinetischen Energie des Neutrons mit der Bindungsenergie eines Nukleons
Die typische Bindungsenergie eines Nukleons im Kern liegt in der Größenordnung von 8 MeV. Um die kinetische Energie des Neutrons zu vergleichen, benötigt man die spezifische Energieverteilung zwischen Neutron und Neutrino in der Reaktion. Da das Neutron massiver ist, wird es einen kleineren Anteil der kinetischen Energie im Vergleich zum (leichteren) Neutrino tragen. Jedoch ohne spezifische Massen und Energien wird der Vergleich allgemeiner Natur bleiben.
Mit der relativistischen Energieerhaltung und dem Impulserhaltungssatz lässt sich die Energieaufteilung berechnen, wenn die genauen Massen bekannt sind. In dieser Beschreibung wird darauf verzichtet, genaue numerische Werte ohne spezifische Masseangaben oder die Energie \(Q\) zu berechnen.
