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Berechnung des Rotationswinkels
Um den Rotationswinkel zu berechnen, bei dem der Zylinder aufhört, die Messerkante zu berühren, betrachten wir die Kräfte, die auf den Zylinder wirken, während er kippt. Die Tangentialkraft der Gewichtskraft wirkt stets zum Mittelpunkt des Zylinders hin. Wir analysieren den Moment, in dem die radiale Komponente der Reaktionskraft an der Messerkante zu null wird, denn gemäß der Aufgabenstellung ist dies der Moment, in dem der Zylinder die Messerkante nicht mehr berührt.
1.
Kräfte und Geometrie
Bezeichnen wir mit:
- \( r \) den Radius des Zylinders,
- \( \theta \) den Rotationswinkel (in Radianten),
- \( m \) die Masse des Zylinders,
- \( g \) die Erdbeschleunigung (\( 9.81 \, \text{m/s}^2 \)).
Da der Zylinder dünn und hohl ist, können wir annehmen, dass die gesamte Masse am Umfang verteilt ist. Das Gewicht des Zylinders (\( m \cdot g \)) wirkt vertikal nach unten. Wenn der Zylinder kippt, entsteht eine Normalkraft an der Messerkante, die eine radiale und eine tangentiale Komponente hat.
2.
Analyse beim Abhebepunkt
Wenn der Zylinder die Messerkante nicht mehr berührt, ist die radiale Komponente der Kraft null. In diesem Moment bildet die Wirkungslinie der Gewichtskraft eine Tangente zum Zylinder, die durch den Berührungspunkt an der Messerkante geht. Zeichnet man eine Linie vom Mittelpunkt des Zylinders zum Berührungspunkt und eine vertikale Linie von diesem Punkt nach unten (wo die Gewichtskraft wirkt), bilden diese zwei Linien ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse der Zylinderradius \( r \) ist.
Da der Winkel \( \theta \) zwischen der vertikalen Linie und der Linie vom Zylindermittelpunkt zum Berührungspunkt gemessen wird, ergibt sich folgender Zusammenhang:
- Die Länge der angrenzenden Seite zum Winkel \( \theta \) im rechtwinkliges Dreieck ist \( r \cos \theta \).
- Die Länge der gegenüberliegenden Seite ist \( r \sin \theta \).
Da die berührende Komponente der Kraft verschwindet, wenn die Wirkungslinie der Gewichtskraft tangential zum Zylinder verläuft, betrachten wir den Tangens des Winkels \( \theta \) im Moment des Nicht-Berührens:
\( \tan \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{r \sin \theta}{r \cos \theta} \)
Bei genauerem Hinsehen stellen wir fest, dass diese Betrachtung uns nicht direkt zum Winkel \( \theta \) führt, da sie trivialerweise zur Identität \( \tan \theta = \sin \theta / \cos \theta \) führt. Der Schlüssel liegt jedoch in der Erkenntnis, dass im Moment des Abhebens der Winkel \( \theta \) so beschaffen ist, dass die Wirkungslinie der Gewichtskraft genau durch den Rand des Zylinders verläuft, also tangential.
Deshalb ist die korrekte Vorgehensweise, zu erkennen, dass der Winkel \( \theta \) durch die Geometrie des Problems definiert wird. Im Moment, in dem die Radialkomponente der Reaktionskraft verschwindet, verläuft die Gewichtskraft "durch" den Berührungspunkt am Umfang des Zylinders und den Mittelpunkt des Zylinders, was bedeutet, dass der Zylinder gerade so weit gekippt ist, dass sein Mittelpunkt direkt über der Messerkante liegt.
Somit ist der gesuchte Winkel \( \theta \) im Grunde der Winkel, für den der Zylinder sich so weit neigt, dass sein Schwerpunkt direkt über der Kante bereits die Neigung erreicht, wo die vertikale Linie durch den Schwerpunkt die Kante als Tangente berührt. In einer idealen, vereinfachten Betrachtung ohne Reibung und unter Annahme einer punktförmigen Auflage entspricht dies einem Winkel von \(90^\circ\) oder \( \frac{\pi}{2} \) Radiant, da reale Bedingungen wie die Verteilung der Kontaktfläche und die genaue Natur der Gewichtskraftverteilung im realen Experiment den spezifischen Kippwinkel beeinflussen können, den wir ohne weiterführende, spezifische Details zur Zylinder- und Kantenbeschaffenheit nicht genauer berechnen können.
