Was bedeutet »im rechten Winkel [zur] bisherigen Geschwindigkeit beschleunigen« ?

Question

Was passiert, wenn Sie eine Kurve machen - egal ob zu Fuß oder im Auto? Sie verändern Ihren Geschwindigkeitsvektor; mit anderen Worten, sie beschleunigen in eine neue Richtung. Wie die Strecke und die Geschwindigkeit ist auch die Beschleunigung a ein Vektor. Sie stehen auf dem Fußballplatz und rennen gerade mit einer Geschwindigkeit von 10 Metern pro Sekunde in einem Winkel von 45° auf einen Punkt an der Mittellinie zu, um den Abschlag Ihres Torwarts zu erreichen. Da sehen Sie einen Gegenspieler auf sich zulaufen, der Sie gleich umrennen wird. Blitzschnell überlegen Sie, was zu tun ist. Sie müssen Ihre Laufrichtung in einer Zehntelsekunde um mindestens 10° ändern, um die Kollision zu vermeiden. Sie schätzen, dass Sie mit einer Beschleunigung von 20 Metern pro Sekunde2 im rechten Winkel zu Ihrer bisherigen Geschwindigkeit beschleunigen können. [Hervorhebung durch »Mathe-Neuling«] Wird das reichen? Wenn M die Zeit ist, in der die Beschleunigung wirkt, dann ist die Änderung Ihrer Geschwindigkeit ᐃv = a ᐃt. Jetzt können Sie die Änderung Ihrer Geschwindigkeit wie in Abbildung 4.10 gezeigt berechnen. (Grafik) Abbildung 4.10: Durch Beschleunigung können Sie die Geschwindigkeit verändern.

(Quelle: Physik für Dummies. Holzner, Steve. 2006, Weinheim: WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA.)

Answer 1

In der Skizze ist der Winkel leider nicht eingezeichent, der zwischen der Spitze von v_A und dem

Anfang von  Delta v.

also erst mal a* Delta t ausrechnen   20 m/s^2 * 0,1 s = 2m/s

und der geänderte Winkel ist ja der zwischen vA und vE und für den

gilt, weil das Dreieck rechtwi. ist

mit den Katheten 2m/s und 10 m/s

tan (beta) = 2/10 = 0,2 

also beta =11,3°

hat also gereicht.

Comments

Achso, ich meine, das Prinzip jetzt zu verstehen, aber nochmal nachgehakt: Ist die Festlegung der Rechtwinkligkeit willkürlich? Denn es könnte doch mathematisch auch ein größerer Winkel sein, richtig?

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klar ist das willkürlich. Aber es stand ja in der Aufgabe.

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@mathef
ich habe Zweifel ob die ganze Skizze stimmt.
Eingezeichnet sind va = 10 m/s
und
delta v = a * t
a* t dürfte aber die Endgeschwindigkeit  nach 1/10 sec sein.
Es hat aber nur eine mittlere Geschwindigkeit gewirkt.
Ich meine die Skizze stimmt von daher nicht.

Siehe meine Skizze über den Weg.

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$$ tan(θ) = \frac { Gegenkathete }{ Ankathete } $$

$$ Ankathete = 10 \frac { m }{ s } $$

$$ Gegenkathete = a\cdot ᐃt = 20 \frac { m }{ s }\cdot 0,1s = 2 \frac { m }{ s }$$

Müsste θ dann nicht

$$ { tan }^{ -1 }(θ) = { tan }^{ -1 }(\frac { Gegenkathete }{ Ankathete }) = { tan }^{ -1 }(\frac { 10 }{ 2 }) \approx 78,68°  $$

sein?

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Da die Skizze mit Vektoren arbeitet, müsste man die Gegenkathete wohl auch als Vektor angeben, wie es der Autor auch auf der nächsten Seite macht:

$$   ᐃv = 2 \frac { m }{ s } bei 135° = (ᐃv \cdot cos[135°], ᐃv \cdot sin[135°]) = (-1,4 \frac { m }{ s }, 1,4 \frac { m }{ s }  $$

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Fehlerhinweis :
Gegenkathete / Ankathete = 2 / 10

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Korrekt, Danke, dann betrüge der Winkel etwas über 11°. Meinen Nachtrag möchte ich revidieren, denn der Vektor teilt die Gegenkathete ja nur in die X- und Y-Komponente auf.

Answer 2

Das Problem kann vereinfacht werden zu

Ein Körper fliegt in horizontaler Richtung in gleichförmiger Bewegunbg mit
- v = 10 m/s
sowie in vertikaler Richtung in beschleunigter Bewegung ( z.B. freier Fall )
- a = 20 m/s^2
Berechne über die zurückgelegten Strecken in 1/10 sec den Winkel alpha.

Soweit meine Überlegungen.

Comments

Die Frage war :
Sie müssen Ihre Laufrichtung in einer Zehntelsekunde um mindestens
10° ändern, um die Kollision zu vermeiden

Weg gleichförmige Bewegung = 1/10 * 10 m/s = 1 m/s
Weg beschleunigte Bewegung : 1/2 * 20 m/s^2 * (1/10)^2 sec^2 = 0.1 m

Abweichung tan a = 0.1 / 1 = 0.1
a = 5.7 °
Die Laufrichtung hat sich um 5.7 ° geändert.

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Also rechnerisch stimmt's, aber ich verstehe nicht, warum Du 10m/s mit 1/10s verrechnest. 10 m/s ist ja V_A, also die Anfangsgeschwindigkeit und 1/10s gilt nur für die Geschwindigkeitszunahme (20m/s²). Die Zeit für V_A ist unbekannt.

Mit 1/2 * 20 (m/s²) * (1/10)² bzw. Durchschnittsgeschwindigkeit mal Zeit zu rechnen ist ein guter Gedanke!

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Die beiden Bewegungen

- gleichförmige
und
- beschleunigte Bewegung

laufen unabhängig von einander ab.

Von einem Turm wird eine Kanonenkugel horizontal abgeschossen.
Nach dem Austritt aus dem Kanonenrohr fliegt die Kugel
im konstanter Geschwindigkeit weiter ( ohne Berücksichtigung
des Luftwiderstands ).
Gleichzeitig wird die Kanonenkugel mit g = 9.81 m/s^2 von der Erde
angezogen.

Sie müssen Ihre Laufrichtung in einer Zehntelsekunde um mindestens
10° ändern,

( Weg in die eine Richtung ) / ( Weg in der andere Richtung ) =
tan ( Laufrichtung )

So mein Verständnis.

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Mittlerweile bin ich anderer Meinung.

Die mittlere Richtungsänderung während der Zeit von 1/10 sec
beträgt 5.7 °

Die Richtungsänderung zum Zeitpunkt 1/10 sec ist die
momentane Änderung also doch
va = 20 * 0.1 = 2 m/sec
tan ( a ) = 2 / 10 = 0.2
a = 11.3 °

Würde ab 1/10 sec nicht mehr weiter beschleunigt  würde die
Richtung von 11.3 ° beibehalten werden.

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Ich hatte die gegebene Skizze nicht weiter hinterfragt.

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Mittlerweile bin ich ja deiner bzw. der meinung des Buches.
Hier noch ein Nachweis mit Diff-Rechnung.

x-Achse : horizontale Bewegung
t ist die Zeit
x = 10 * t
y-Achse
y = 1/2 * 20 * t^2

x = 10 * t  => t = x /10
y = f ( x ) = 1/ 2 * 20 * ( x / 10)^2
f ( x ) = 0.1 * x^2
f ´( x ) = 0.2 * x
für t = 1/ 10 ist x = 1
f ´( 1 ) = 0.2 * 1 = 0.2
Steigung ist 0.2 ; a = 11.3 °

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Darf man das denn machen, nur den einen Teil einer Funktion ableiten?

Wie kommst Du darauf, dass x = 1 ist?

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Hier ersteinmal eine Skizze.

~plot~ 0.1 * x^2 ; 0.2 * x - 0.1 ; [[ 0 | 3 | -1 | 1.5 ]] ~plot~

x- Achse : Wegstrecke gleichförmigen Bewegung
y - Achse : Wegstrecke der beschleunigten Bewegung
blau : die Funktion
rot : Tangente im Punkt x = 1

f ( x ) = 0.1 * x²
Darf man das denn machen, nur den einen Teil einer Funktion ableiten?
Es wurde eine vollständige 1.Ableitung gebildet
f ´( x ) = 0.2 * x

Wie kommst Du darauf, dass x = 1 ist ?
Für den Punkt nach t = 0.1 sec beträgt der horizontale Weg
x = 10 m/s * 0.1 sec = 1

f ´( 1 ) = 0.2 * 1 = 0.2 ( 11.3 ° )

Entfällt bei x = 1 die Beschleunigung fliegt der Körper
auf der roten Tangente weiter.

Tangentengleichung
y = m * x + b
f ( 1 ) = 0.1 * 1^2 = 1
1 = 0.2 * 1 + b
b = -0.1
y = 0.2 * x - 0.1

Ich kenne deinen Kenntnisstand nicht. Aus der Aufgabe kannst du aus
lernen. " Wurfparabeln ", " Schiefer Wurf nach oben "  usw. können so
berechnet werden. Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.