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Berechnen Sie die Mindestgeschwindigkeit des Autos im Punkt A (tiefster Punkt des Loopings).
Um die Mindestgeschwindigkeit des Autos im Punkt A zu berechnen, müssen wir die Energieerhaltung zwischen Punkt A (tiefster Punkt) und Punkt B (höchster Punkt des Loopings) anwenden. Da die Reibung vernachlässigt wird, bleibt die mechanische Energie, die Summe aus kinetischer und potentieller Energie, erhalten.
Im höchsten Punkt B muss das Auto mindestens so schnell sein, dass die nach innen gerichtete Zentripetalkraft genau der Gewichtskraft entspricht, damit das Auto nicht von der Bahn abhebt.
a) Berechnen Sie die Mindestgeschwindigkeit des Autos im Punkt B (höchster Punkt des Loopings).
Um in Punkt B (höchster Punkt des Loopings) zu bleiben, benötigt das Auto eine Zentripetalkraft, die mindestens so groß ist wie die Gewichtskraft des Autos:
\(F_z = F_g\)
\(\frac{mv^2}{r} = mg\)
wobei \(m\) die Masse des Autos, \(v\) die Geschwindigkeit im Punkt B, \(r\) der Radius des Loopings und \(g\) die Erdbeschleunigung ist.
Der Radius (\(r\)) des Loopings ist die Hälfte des Durchmessers:
\(r = \frac{d}{2} = \frac{30\,cm}{2} = 15\,cm = 0,15\,m\)
Umgestellt nach \(v\) ergibt sich:
\(v = \sqrt{rg}\)
Einsetzen der Werte liefert:
\(v = \sqrt{0,15 \cdot 9,81} = \sqrt{1,4715} \approx 1,21\,m/s\)
b) Berechnen Sie die Mindestgeschwindigkeit des Autos im Punkt A (tiefster Punkt des Loopings).
Die gesamte mechanische Energie (potentielle und kinetische) im Punkt A muss gleich der gesamten mechanischen Energie im Punkt B sein. Da im Punkt A keine Höhe (über dem tiefsten Punkt) vorhanden ist, wird potentielle Energie vollständig in kinetische Energie umgewandelt. Deshalb muss die potentielle Energie im Punkt B (auf der Höhe von \(2r\)) und die kinetische Energie im Punkt B berücksichtigt werden, um die Geschwindigkeit im Punkt A zu berechnen:
Die potentielle Energie im Punkt B beträgt:
\(PE_B = mg\cdot 2r\)
Die kinetische Energie im Punkt A (\(KE_A\)) muss gleich der Summe der potentiellen Energie und der kinetischen Energie im Punkt B sein:
\(KE_A = PE_B + KE_B\)
Die kinetische Energie im Punkt B \(KE_B\) ist:
\(KE_B = \frac{1}{2}mv^2\)
Einsetzen von \(PE_B\) und \(KE_B\) ergibt:
\(KE_A = mg\cdot 2r + \frac{1}{2}mv^2\)
Da \(KE_A = \frac{1}{2}mv_A^2\):
\(\frac{1}{2}mv_A^2 = mg\cdot 2r + \frac{1}{2}mv^2\)
Umgestellt nach \(v_A\) (Geschwindigkeit im Punkt A):
\(v_A^2 = 2g\cdot 2r + v^2\)
Einsetzen der bekannten Werte (\(g = 9,81\,m/s^2\), \(r = 0,15\,m\), \(v = 1,21\,m/s\)):
\(v_A^2 = 2 \cdot 9,81\cdot 0,3 + 1,21^2\)
\(v_A^2 = 5,886 + 1,4641 = 7,3501\)
\(v_A = \sqrt{7,3501} \approx 2,71\,m/s\)
Die Mindestgeschwindigkeit des Autos im Punkt A beträgt also ca. \(2,71\,m/s\).
Die nächsten Teile der Frage beziehen sich auf die erforderliche Stauchung der Feder und die damit verbundene Kraft sowie die Kraft, die im Punkt C auf die Loopingbahn wirkt, werden ähnliche Überlegungen zur Arbeit und Energie sowie zum Gleichgewicht der Kräfte erfordern.
