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Ermittlung des Energieinhalts des Gasspeichers
Um den Energieinhalt des Gasspeichers zu berechnen, die in kWh ausgedrückt wird, müssen wir zuerst das Volumen des Erdgases im Gasspeicher bestimmen. Dieses Volumen lässt sich unter Verwendung der Molmasse \(M\) von Erdgas und der insgesamt gespeicherten Masse \(m\) berechnen.
1.
Umrechnung der Masse des Erdgases in Mol
Die Anzahl der Mole \(n\) des Gases im Speicher erhält man, indem man die Masse des Gases durch dessen Molmasse teilt:
\(
n = \frac{m}{M} = \frac{21000000\, \mathrm{kg}}{13,24 \, \mathrm{kg/mol}} \approx 1585781,57 \, \mathrm{mol}
\)
2.
Umrechnung der Mole in Volumen
Unter Normalbedingungen entspricht ein Mol eines idealen Gases ungefähr 22,4 Litern. Das Volumen \(V\) des gespeicherten Erdgases in Kubikmetern (\(\mathrm{m}^3\)) berechnet sich als:
\(
V = n \cdot 22,4 \, \mathrm{L/mol} = 1585781,57 \, \mathrm{mol} \cdot 22,4 \, \mathrm{L/mol} \approx 35545527,59 \, \mathrm{L} = 35545,53 \, \mathrm{m}^3
\)
3.
Berechnung des nutzbaren Volumens unter Berücksichtigung der nicht entnehmbaren Menge
Da 10 % des Erdgases nicht entnommen werden können, beträgt das nutzbare Volumen 90 % des Gesamtvolumens:
\(
V_{nutzbar} = V \cdot 0,90 = 35545,53 \, \mathrm{m}^3 \cdot 0,90 \approx 31991 \, \mathrm{m}^3
\)
4.
Umrechnung des Volumens in Energie
Um den Energieinhalt in kWh zu berechnen, verwenden wir den Heizwert des Erdgases:
\(
E_{gesamt} = V_{nutzbar} \cdot \text{Heizwert} = 31991 \, \mathrm{m}^3 \cdot 15 \, \mathrm{kWh/m}^3 \approx 479865 \, \mathrm{kWh}
\)
Berechnung der Betriebsdauer der Gasheizungen
Die gesamte benötigte Leistung der 53100 Haushalte unter Berücksichtigung des Wirkungsgrades der Heizungen ist:
\(
P_{gesamt} = \text{Wärmebedarf} \cdot \text{Anzahl der Haushalte} = 14 \, \mathrm{kW} \cdot 53100 = 743400 \, \mathrm{kW}
\)
Da der Wirkungsgrad der Heizungen bei 0,5 (oder 50 %) liegt, muss die bereitgestellte Energiemenge doppelt so hoch sein, um den Wärmebedarf zu decken:
\(
P_{effektiv} = 2 \cdot P_{gesamt} = 2 \cdot 743400 \, \mathrm{kW} = 1486800 \, \mathrm{kW}
\)
Die Betriebsdauer \(t\) der Heizungen in Stunden, bis der Gasspeicher erschöpft ist, berechnet sich dann als:
\(
t = \frac{E_{gesamt}}{P_{effektiv}} = \frac{479865 \, \mathrm{kWh}}{1486800 \, \mathrm{kW}} \approx 0,3226 \, \mathrm{Stunden}
\)
Zusammenfassend kann der Gasspeicher die Gasheizungen des Dorfes unter den gegebenen Bedingungen für etwa 0,3226 Stunden, also knapp 19,36 Minuten, betreiben.
