Antwort mit KI erzeugt
1. Berechnen Sie die Gesamtkraft auf q (mit Richtung)
Um die Gesamtkraft auf \(q\) zu berechnen, verwenden wir das Coulomb'sche Gesetz:
\(
F = k \frac{|Q_1 \cdot Q_2|}{r^2}
\)
wobei \(k = 8.987 \times 10^9 \, \text{N m}^2/\text{C}^2\) die Coulomb-Konstante ist, \(Q_1\) und \(Q_2\) die Ladungsmengen in Coulomb, und \(r\) der Abstand zwischen den Ladungen in Metern.
Gegeben:
- \(Q_1 = 10 \, \text{nC} = 10 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
- \(Q_2 = -4 \, \text{nC} = -4 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
- \(q = 1 \, \text{pC} = 1 \times 10^{-12} \, \text{C}\)
- \(Q_3 = 3 \, \text{nC} = 3 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
Um die einzelnen Abstände in Meter umzurechnen:
- Abstand \(Q_1-Q_2 = 2 \, \text{cm} = 0.02 \, \text{m}\)
- Abstand \(Q_2-q = 3 \, \text{cm} = 0.03 \, \text{m}\)
- Abstand \(q-Q_3 = 4 \, \text{cm} = 0.04 \, \text{m}\)
Berechnungen:
- Kraft zwischen \(Q_1\) und \(q\): Wir beachten nicht direkt die Kraft zwischen \(Q_1\) und \(q\), da sie nicht aneinander grenzen und wir die Effekte von \(Q_2\) und \(Q_3\) betrachten müssen.
- Kraft zwischen \(Q_2\) und \(q\): \(F_{Q_2q} = k \frac{|-4 \times 10^{-9} \cdot 1 \times 10^{-12}|}{(0.03)^2}\)
- Kraft zwischen \(Q_3\) und \(q\): \(F_{Q_3q} = k \frac{|3 \times 10^{-9} \cdot 1 \times 10^{-12}|}{(0.04)^2}\)
Setzen wir die gegebenen Werte ein:
- \(F_{Q_2q} = 8.987 \times 10^9 \cdot \frac{4 \times 10^{-12}}{0.0009} = 39.94 \times 10^{-3} \, \text{N}\)
- \(F_{Q_3q} = 8.987 \times 10^9 \cdot \frac{3 \times 10^{-12}}{0.0016} = 16.9 \times 10^{-3} \, \text{N}\)
Da \(Q_2\) negativ und \(q\) positiv ist, ist die Richtung der Kraft von \(Q_2\) auf \(q\) anziehend, und da \(Q_3\) positiv und \(q\) positiv ist, ist die Richtung der Kraft von \(Q_3\) auf \(q\) abstoßend. Da alle auf einer Linie liegen, kann man die Kräfte direkt addieren bzw. subtrahieren.
Gesamtkraft auf \(q\):
Da \(Q_2\) und \(q\) näher zusammen sind als \(Q_3\) und \(q\), und aufgrund der Anziehungskraft von \(Q_2\), könnte die Gesamtkraft in Richtung \(Q_2\) zeigen, vorausgesetzt die Kraft von \(Q_2\) auf \(q\) überwiegt die von \(Q_3\). Ohne explizite Angabe der Positionen von \(Q_1\), \(Q_2\), und \(Q_3\) zueinander, anhand dieser vereinfachten Analyse, betrachten wir nur \(F_{Q_2q}\) und \(F_{Q_3q}\).
2. Wie groß muss Q2 sein, damit auf q keine Kraft wirkt?
Um zu bestimmen, wie groß \(Q_2\) sein muss, damit auf \(q\) keine Kraft wirkt, nutzen wir die Tatsache, dass die Kräfte, die von \(Q_1\) und \(Q_2\) auf \(q\) ausgeübt werden, sich gegenseitig aufheben müssen.
Gegeben:
- \(Q_1 = 8 \, \text{nC} = 8 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
- Abstand \(Q_1-q = 3 \, \text{cm} = 0.03 \, \text{m}\)
- Abstand \(q-Q_2 = 2 \, \text{cm} = 0.02 \, \text{m}\)
Die Kraft zwischen \(Q_1\) und \(q\):
\(
F_{Q_1q} = k \frac{|8 \times 10^{-9} \cdot 1 \times 10^{-12}|}{(0.03)^2}
\)
Die Kraft zwischen \(Q_2\) und \(q\) muss gleich \(F_{Q_1q}\) sein, um sich aufzuheben.
\(
F_{Q_2q} = F_{Q_1q} = k \frac{|Q_2 \cdot 1 \times 10^{-12}|}{(0.02)^2}
\)
Wir lösen nach \(Q_2\) auf, indem wir die Gleichungen gleich setzen und \(k\) kürzen:
\(
\frac{8 \times 10^{-9}}{0.03^2} = \frac{Q_2}{0.02^2}
\)
\(
Q_2 = \frac{8 \times 10^{-9} \cdot 0.02^2}{0.03^2}
\)
\(Q_2 = 3.555 \times 10^{-9} \, \text{C} = 3.555 \, \text{nC}\)
3. Wie groß muss der Abstand d sein, damit auf q keine Kraft wirkt?
Gegeben:
- \(Q1 = -10 \, \text{nC} = -10 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
- \(Q2 = 1 \, \text{nC} = 1 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
- Abstand \(Q2-q = 3 \, \text{cm} = 0.03 \, \text{m}\)
Die Kraft, die \(Q1\) auf \(q\) ausübt, und die Kraft, die \(Q2\) auf \(q\) ausübt, müssen sich aufheben. Für die Kraft gilt:
\(
F_{Q1q} = k \frac{|-10 \times 10^{-9} \cdot 1 \times 10^{-12}|}{d^2}
\)
\(
F_{Q2q} = k \frac{|1 \times 10^{-9} \cdot 1 \times 10^{-12}|}{(0.03)^2}
\)
Diese beiden Kräfte müssen gleich sein, um sich aufzuheben:
\(
\frac{10 \times 10^{-9}}{d^2} = \frac{1 \times 10^{-9}}{(0.03)^2}
\)
\(d^2 = \frac{10 \times 10^{-9}}{1 \times 10^{-9}} \cdot (0.03)^2
\)
\(d = \sqrt{10 \cdot (0.03)^2} = \sqrt{0.009} = 0.095 \, \text{m} = 9.5 \, \text{cm}\)
Somit muss der Abstand \(d\) zwischen \(Q_1\) und \(q\) etwa \(9.5 \, \text{cm}\) betragen, damit auf \(q\) keine Kraft wirkt.
