Berechnen Sie den durch den Leiterquerschnitt A fließenden Strom (Flächenintegral)

Question

Aufgabe:

Die Abbildung zeigt den Querschnitt eines elektrischen Leiters, der senkrecht von der "ortsabhängigen" Stromdichte S(x;y)=k*x^2*y^2 durchflossen wird. (k: positive Konstante)

Berechnen Sie den durch den Leiterquerschnitt A fließenden Strom I, wenn definitionsgemäß gilt:

\( I=\iint_{(A)}^{~} S(x ; y) d A \)

Answer 1

Ich zeig mal kurz, wie man Doppelintegrale für rechteckige Integrationsgebiete berechnet, obwohl hier ein dreieckiges Integrationsgebiet gegeben ist.

∫_x0^x1∫_y0^y1 (k*x²*y²) dy dx = I

Man löst sowas immer von innen nach außen.

-> ∫_y0^y1 (k*x²*y²) dy  hier wird x wie eine Konstante betrachtet.

-> k*x² ∫_y0^y1 y² dy

Mit y0 = 0 und y1 = 1 folgt k*x² ∫₀¹ y² dy = k*x² *y³/3|₀¹ = (k*x² )/3

Jetzt das äußere Integral ∫_x0^x1∫_y0^y1 (k*x²*y²) dy dx = ∫_x0^x1  (k*x² )/3 dx mit x0 = 0 und x1= 1 folgt  ∫₀¹  (k*x² )/3 dx = (k/3)*(x³/3)|₀¹ = k/9

Nun kannst du dir überlegen, was rauskommen kann, wenn man lediglich ein dreieckiges Integrationsgebiet hat.

Comments

Danke für die Antwort.
Also müsste dann für das Dreieck k/18 rauskommen. Richtig?

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Die Annahme mit dem Rechteck glaube funktioniert nicht.

Ergebnis für das Dreieck ist k/180.

Ich habe für die obere Grenze von y > y=x+1