Kräftevektoren als Funktion Anstellwinkels bestimmen

Question

Aufgabe:

Hallo, habe hier eine Klausuraufgabe und komme leider nicht weiter:

Eine masselose Leiter der Länge =10 m lehnt an einer vertikalen, reibungsfreien Wand (d. h., die Wand kann parallel zu ihrer Oberfläche keine Kraft auf die Leiter aus-üben). Auf drei Viertel der Leiterlänge steht eine Person mit dem Gewicht =80 kg (siehe Abbildung 3).

Bestimmen Sie die Vektoren der von der Wand und vom Boden auf die Leiter ausgeübten Kräfte als Funktion des Anstellwinkels .

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand bei der Lösung helfen? Vielen Dank im Voraus! Grüße

Answer 1

Bestimmen Sie die Vektoren der von der Wand und vom Boden auf die Leiter ausgeübten Kräfte als Funktion des Anstellwinkels .

Die Wand übt eine Kraft F_W , die senkrecht zur Wand wirkt, auf die Leiter aus.

Der Boden übt eine Kraft F_B, mit einer horizontalen Komponente F_Bx (Reibungskraft) und einer vertikalen Komponente F_By (Normalkraft), auf die Leiter aus.

F_W kann wie folgt über eine Drehmomentgleichung  bestimmt werden, wobei als Drehachse die Stelle gewählt wird, an der die Leiter den Boden berührt:

Die Leiter bildet mit dem Boden und der Wand ein rechtwinkliges Dreieck, in dem gilt:

cos α = Ankathete / Hypotenuse = x_W / l_L → x_W = l_L * cos α = 10m * cos α

α soll der Anstellwinkel sein, d.h. der Winkel zwischen Leiter und Boden, x_W der Abstand der Drehachse zur Wand und l_L die Leiterlänge.

Weil auf 3/4 der Leiterlänge eine Person steht, ist der  Hebelarm dementsprechend:

0,75 * 10m * cos α = 7,5m * cos α für F_P = m * g = 80kg * 9,81ms^-2 =  784,8 N .

Der Hebelarm für F_W ist: sin α = y_W / l_L → y_W = l_L *  sin α = 10m * sin α

y_W ... Höhe in der F_W wirkt, d.h. die Leiter die Wand berührt.

Weil F_B an der Drehachse wirkt, ist der Hebelarm dieser Kraft gleich Null.

Die Drehmomentgleichung lautet somit:

Σ M =  10m * sin α * F_W - 7,5m * cos α * 784,8 N = 0 

F_W = (5886 Nm * cos α) / (10m * sin α) = 588,6 N * (cos α / sin α) = 588,6 N * cot α

Die Summe aller horizontalen und vertikalen Kräfte ist:

∑ F_x = F_Bx - F_W = 0  → F_W = F_Bx und ∑ F_y = F_By - m * g = 0 → F_By = m * g

D.h. F_Bx ist betragsmäßig genauso groß, wie F_W, nur entgegengesetzt gerichtet:

F_W = F_Bx =   588,6 N * cot α

F_By = m * g = 784,8 N

F_B = √(F_Bx² + F_By²) = √((588,6 N * cot α)² + (784,8 N)²)

Diese Kraft wirkt in einem Winkel von :

φ = arctan (F_By / F_Bx) = 784,8 N / (588,6 N * cot α) 

Dabei muss φ nicht genauso groß wie der Anstellwinkel α sein, d.h. F_B muss nicht zwangsläufig entlang der Leiter wirken.