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Teil a: Wahrscheinlichkeit des Tunnelns durch eine Potentialbarriere
Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass ein Elektron durch eine Potentialbarriere tunneln kann, verwenden wir die Quantenmechanik. Ein häufig verwendetes Modell für diesen Prozess basiert auf der Schrödinger-Gleichung und liefert eine Formel für die Tunnelwahrscheinlichkeit, die von der Höhe und Dicke der Barriere sowie der Energie des Teilchens abhängt.
Die Tunnelwahrscheinlichkeit \(T\) kann näherungsweise durch die Formel
\(
T \approx \exp\left(-2 \alpha L\right)
\)
ausgedrückt werden, wobei \(L\) die Dicke der Barriere ist, und \(\alpha\) ist durch
\(
\alpha = \sqrt{\frac{2m(V_0 - E)}{\hbar^2}}
\)
gegeben, mit
- \(m\) als die Masse des Elektrons,
- \(V_0\) als die Höhe der Potentialbarriere,
- \(E\) als die Gesamtenergie des Elektrons, und
- \(\hbar\) als die reduzierte Plancksche Konstante.
Für ein Elektron sind
- \(m = 9.109 \times 10^{-31}\) kg,
- \(V_0 = 2.00\) eV,
- \(E = 0.90\) eV,
- \(L = 0.25\) nm \(= 0.25 \times 10^{-9}\) m,
- \(\hbar = 1.055 \times 10^{-34}\) J\(\cdot\)s.
Um die Energien in Joule umzuwandeln, verwenden wir die Umrechnung \(1\) eV \(= 1.602 \times 10^{-19}\) J. Also haben wir
- \(V_0 = 2.00 \times 1.602 \times 10^{-19}\) J,
- \(E = 0.90 \times 1.602 \times 10^{-19}\) J.
Jetzt können wir \(\alpha\) berechnen:
\(
\alpha = \sqrt{\frac{2 \times 9.109 \times 10^{-31} \times ((2.00 \times 1.602 \times 10^{-19}) - (0.90 \times 1.602 \times 10^{-19}))}{(1.055 \times 10^{-34})^2}}
\)
\(
\alpha = \sqrt{\frac{2 \times 9.109 \times 10^{-31} \times (3.20 \times 10^{-19} - 1.442 \times 10^{-19})}{1.110 \times 10^{-68}}}
\)
\(
\alpha = \sqrt{\frac{2 \times 9.109 \times 10^{-31} \times 1.758 \times 10^{-19}}{1.110 \times 10^{-68}}}
\)
\(
\alpha = \sqrt{ \frac{3.20 \times 10^{-49}}{1.110 \times 10^{-68}}}
\)
\(
\alpha = \sqrt{2.88 \times 10^{19}} \approx 1.70 \times 10^{9}\, \text{m}^{-1}
\)
Nun setze \(\alpha\) und \(L\) in die Formel für \(T\) ein:
\(
T \approx \exp(-2 \times 1.70 \times 10^{9} \times 0.25 \times 10^{-9})
\)
\(
T \approx \exp(-0.85) \approx 0.426
\)
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Elektron die Barriere durchtunnelt, ist also etwa 42.6%.
Teil b: Wahrscheinlichkeit im ersten Energieniveau eines eindimensionalen Kastenpotentials
Für ein Teilchen in einem eindimensionalen Kasten mit unendlich hohen Wänden sind die Energieniveaus durch die Formel
\(
E_n = \frac{n^2 \hbar^2 \pi^2}{2mL^2}
\)
gegeben, wobei \(n\) die Quantenzahl des Energieniveaus ist (für das erste Niveau \(n=1\)) und \(L\) die Länge des Kastens ist.
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für ein Teilchen im ersten Energieniveau (\(n=1\)) ist gegeben durch
\(
\Psi(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)
\)
und die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen in einem Bereich zwischen \(0\) und \(L/2\) befindet, erhält man durch das Integrieren der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion \(|\Psi(x)|^2\):
\(
P = \int_0^{L/2} |\Psi(x)|^2 dx = \int_0^{L/2} \left(\sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)\right)^2 dx
\)
\(
P = \frac{2}{L} \int_0^{L/2} \sin^2\left(\frac{\pi x}{L}\right) dx
\)
Mithilfe der Formel für das Integral von \(\sin^2\), können wir dies vereinfachen zu
\(
P = \frac{2}{L} \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin\left(\frac{2\pi x}{L}\right)}{4 \pi/L} \right]_0^{L/2}
\)
\(
P = \frac{2}{L} \left( \frac{L}{4} - 0 \right) = \frac{1}{2}
\)
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen im eindimensionalen Kasten im Bereich von \(0\) bis \(L/2\) im ersten Energieniveau befindet, ist also 50%.
