Hallo,
ich sehe, Dein Problem liegt in der Mathematik.
Man sagt: "Willst Du in Elektrotechnik besser werden, dann musst Du in Mathematik besser werden" (das ist keineswegs arrogant gemeint!)
Deshalb gebe ich Dir hier die ausführliche Lösung mit dem Hinweis, unbedingt die dazugehörige Mathematik zu erlernen.
zu Frage a):
Geben Sie eine Formel für den komplexen Widerstand
der skizzierten Schaltung an.
Schritt 1:
Der komplexe Widerstand \(\underline Z_{ges}\) soll berechnet werden und in der allgemeinen Form \(\underline Z_{ges} = a + jb\) dargestellt werden.
$$\underline Z_{ges} = jωL + \frac{R*\frac{1}{jωC}}{R+\frac{1}{jωC}} = jωL + \frac{R}{1+jωCR}$$
\(\underline Z_{ges} = \frac{jωL*(1+jωCR) + R}{1+jωCR}\) jetzt konjugiert komplex erweitern
\(\underline Z_{ges} = \frac{jωL*(1+jωCR) + R}{1+jωCR} * \frac{(1-jωCR)}{(1-jωCR)}\)
\(\underline Z_{ges} = \frac{(jωL-ω^{2}CRL+R)*(1-jωCR)}{(1+jωCR)*(1-jωCR)}\) jetzt ausmultiplizieren
\(\underline Z_{ges} = \frac{jωL+ω^{2}CRL-ω^{2}CRL+jω^{3}C^{2}R^{2}L+R-jωCR^{2}}{1+ω^{2}C^{2}R^{2}}\)
jetzt Real- und Imaginärglieder zusammenfassen
\(\underline Z_{ges} = \frac{R}{1+ω^{2}C^{2}R^{2}} + j*\frac{(ω^{3}C^{2}R^{2}L-ωCR^{2}+ωL)}{1+ω^{2}C^{2}R^{2}}\)
Das ist der komplexe Gesamtwiderstand in der Form \(\underline Z_{ges} = a + jb\)
zu Frage b):
Gibt es eine Frequenz für die der Imaginärteil des Widerstandes
verschwindet?
Lösung: Der Imaginärteil ist dann Null, wenn der Zähler des Imaginärteils Null ist, also
\(ω^{3}C^{2}R^{2}L-ωCR^{2}+ωL = 0\)
\(ω*(ω^{2}C^{2}R^{2}L-CR^{2}+L) = 0\)
\(ω^{2}C^{2}R^{2}L-CR^{2}+L = 0\) diese Gleichung nach \(ω\) aufgelöst
\(ω = \sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{1}{C^{2}R^{2}}}\) bzw. die Frequenz f
\(f = \frac{1}{2π}*\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{1}{C^{2}R^{2}}}\)
Mit dieser Gleichung lässt sich die Frequenz f berechnen, bei der der Imaginärteil Null ist. Das ist übrigens die Resonanzfrequenz. Dann verhält sich die Schaltung wie ein rein Ohmscher Widerstand, denn ein Blindwiderstand ist bei dieser Frequenz nicht vorhanden.
Gruß von hightech
