woher kommt 1/2 in der Formel für den freien Fall?

Question

Hallo zusammen,

die Formel für den freien Fall lautet ja h(t) = h(0) - (at²)/2

die Höhen sind mir klar, aber wenn ich die Strecke, den dritten Teil der Gleichung, herleiten will, stehe ich leider an:

es gilt s=vt

und es gilt v=at

kombiniere ich die beiden Gleichungen, kommt ich auf s=at² und nicht auf s=at^2/2...

Answer 1

Hmm, ganz so wie du das gemacht hast geht das nicht.

V= s/t gilt für eine gleichförmige Bewegung. Die Beschleunigung a ist hier null, weil sich die Geschwindigkeit nicht ändert.

V=at Das ist die gleichmässig beschleunigte Bewegung, wo sich die Geschwindigkeit ändert. Die Geschwindigkeit bei der gleichmässig beschleunigten Bewegung ist die Ableitung des Weg Zeit Gesetztes. Das heißt von v=at zu s=1/2at^2 kommst du in dem du v nach t integrierst. Bzw. wenn du das Weg-Zeit Gesetz (1/2at^2) ableitest, kommst du auf v=at. Alles klar?

Answer 2

Ich antworte einmal ohne Diff- und Integralrechnung.
( kann aber auch noch nachgereicht werden )

v = a * t
v ist die Endgeschwindigkeit die bei einer Beschleunigung a nach
einer Zeit t erreicht wird.

Nun gilt s = v * t nur dann wenn v konstant ist
( Auto 100 km / h  über 3 h = 300 km )

Da die Geschwindigkeit bei konstanter Beschleunigung linear
ansteigt ist die mittlere Geschwindigkeit
vm = ( v0 + v ) / 2
mit v0 = 0
vm = v / 2 = ( a * t ) / 2

s = vm * t = ( a * t )/ 2 * t
s = 1/2 * a * t^2