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Teil 1: Funktion der Schallintensität
Zu Beginn haben Sie bereits die Funktion der Schallintensität \(S\) als
\(
S = \frac{P}{4\pi(v^2t^2 + y^2)}
\)
definiert, wobei:
- \(P = 6.3 \, \text{mW} = 6.3 \times 10^{-3} \text{W}\) die Schallleistung des Motorrads ist,
- \(v = 100 \, \text{km/h} = 100 \times \frac{1000}{3600} \text{m/s} \approx 27.78 \, \text{m/s}\) die Geschwindigkeit des Motorrads ist,
- \(y = 10 \, \text{m}\) der Abstand des Beobachters von der Straße ist,
- \(t\) die Zeit in Sekunden nach einem bestimmten Referenzpunkt (z.B. dem Zeitpunkt, zu dem sich das Motorrad direkt gegenüber dem Beobachter befindet) ist.
Teil 2: Bestimmung des maximalen Pegels
Der Schallpegel \(L\) in Dezibel (dB) lässt sich durch die Schallintensität \(I\) mit der Formel
\(
L = 10 \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)
\)
bestimmen, wobei \(I_0 = 1 \times 10^{-12} \, \text{W/m}^2\) die Referenzintensität für den Schall in Luft ist.
Da der Schallpegel mit der Schallintensität korreliert und die vom Beobachter wahrgenommene maximale Intensität erreicht wird, wenn das Motorrad sich direkt gegenüber dem Beobachter befindet (\(t = 0\)), kann in diesem Fall die Distanz zwischen dem Motorrad und dem Beobachter minimal sein und damit die Intensität maximal. Die Schallintensität \(I\) entspricht der Größe \(S\).
Einsetzen in die gegebene Funktion:
\(
S_{\text{max}} = \frac{P}{4\pi y^2}
\)
\(
S_{\text{max}} = \frac{6.3 \times 10^{-3}}{4\pi (10)^2} \approx \frac{6.3 \times 10^{-3}}{1256} \approx 5.014 \times 10^{-6} \, \text{W/m}^2
\)
Berechnen des maximalen Pegels:
\(
L_{\text{max}} = 10 \log_{10}\left(\frac{5.014 \times 10^{-6}}{1 \times 10^{-12}}\right) = 10 \log_{10} (5.014 \times 10^6) \approx 10 \times 6.7 = 67 \, \text{dB}
\)
Teil 3: Maximale Entfernung und Zeitraum des Hörens
Die maximale Entfernung und der Zeitraum, in dem der Beobachter das Motorrad hören kann, hängen vom Umgebungsgeräuschpegel ab, der bei 20 dB liegt. Die Beziehung zwischen Schallintensität und Schallpegel ist wie oben definiert. Um zu bestimmen, bei welcher Entfernung und unter welchen Bedingungen der Schallpegel auf 20 dB abfällt, verwenden wir die ursprüngliche Formel für den Schallpegel und setzen \(L = 20\) dB.
\(
20 = 10 \log_{10}\left(\frac{I}{1 \times 10^{-12}}\right)
\)
Umformen ergibt:
\(
I = 10^{(\frac{20}{10})} \times 10^{-12} = 10^{2} \times 10^{-12} = 10^{-10} \, \text{W/m}^2
\)
Die Formel für die Schallintensität in Abhängigkeit von der Entfernung und der Zeit ist gegeben. Um die genaue maximale Entfernung oder den Zeitraum zu bestimmen, müsste man detailliertere Berechnungen anstellen und unter Umständen numerische Methoden verwenden, um die Gleichung zu lösen, da sie von der Annahme des Pegelabfalls und der zugehörigen Intensität abhängen.
Die maximal hörbare Entfernung und der Zeitraum würden erfordern, diese Intensität \(I = 10^{-10} \, \text{W/m}^2\) in die ursprüngliche Formel für \(S\) einzusetzen und nach \(y\) und \(t\) aufzulösen, was jedoch mit der gegebenen Information nicht direkt möglich ist ohne weitere Annahmen über die Geometrie der Situation und das spezifische Verhalten des Schalls in der Umgebung.
