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Um die Compliance (mittlere globale Nachgiebigkeit) \(C\) für den beschriebenen druck- und biegebelasteten Balken zu bestimmen, müssen wir den Ansatz \(C = \Sigma F_i \cdot u_i\) verwenden, wobei \(u_i\) die Verschiebung der Kraft \(F_i\) darstellt. Dabei ist zu beachten, dass dieser Ansatz die Nachgiebigkeit des Systems als Summe der einzelnen Arbeitsterme der Kräfte darstellt, die an den Verschiebungen Arbeit leisten.
Identifikation der Kräfte und Verschiebungen
Im dritten Balken (unteres Beispiel) gibt es offensichtlich zwei Kräfte \(F_1\) und \(F_2\), wobei \(F_1\) eine Druckkraft senkrecht zum Balken und \(F_2\) eine Biege- oder Querkraft sein könnte.
Annahmen:
1. Der Balken sei linear-elastisch, isotrop und homogen.
2. Kleine Verformungen, d.h., geometrische Linearität ist angenommen.
Verschiebungen unter den Kräften
Für \(F_1\), wenn dies z.B. eine zentrische Druckkraft ist, würde die Verschiebung \(u_1\) in Richtung der Kraft auftreten und könnte mit dem Hookeschen Gesetz für Druck berechnet werden, wobei die Dehnung \(ɛ = \frac{\Delta L}{L_0}\) ist und \(\Delta L\) die Längenänderung und \(L_0\) die Ausgangslänge des Balkens ist. Demnach wäre \(u_1 = \Delta L = ɛ \cdot L_0\).
Für \(F_2\), die eine Biegebeanspruchung verursacht, hängt die Verschiebung von der Biegung des Balkens ab. Die Durchbiegung kann komplexer sein und hängt vom Moment, der Balkengeometrie und den Materialeigenschaften ab. Ohne spezifische Parameter kann die exakte Verschiebung \(u_2\) nicht direkt angegeben werden, aber es kann angenommen werden, dass sie von \(F_2\), dem Elastizitätsmodul \(E\), dem Flächenträgheitsmoment \(I\) des Querschnitts und der Länge \(L\) des Balkens abhängig ist.
Bestimmung der Compliance
Die Formulierung für \(C\) wäre daher:
\(C = F_1 \cdot u_1 + F_2 \cdot u_2\)
wobei
\(u_1 = \Delta L = \frac{F_1 \cdot L_0}{A \cdot E}\) (für Dehnung unter Druck, A ist der Querschnittsbereich des Balkens, und E ist der Elastizitätsmodul)
und
\(u_2\) ist definitionsabhängig und berücksichtigt die Durchbiegung durch Biegebelastung, zum Beispiel durch \(u_2 = \frac{F_2 \cdot L^3}{3 \cdot E \cdot I}\) (für einfache Balken).
Ohne die genauen Parameter (wie \(F_1\), \(F_2\), \(L_0\), den Querschnittsbereich \(A\), den Elastizitätsmodul \(E\), das Flächenträgheitsmoment \(I\), und die Länge \(L\)) oder spezifischere Details zur Kraftverteilung und Geometrie des Balkens, bleibt die Gleichung für \(u_2\) hypothetisch und soll hier konzeptuell die Abhängigkeit von der Biegelast aufzeigen.
Schlussfolgerung
Es scheint, als würde in Ihrer Annäherung die Verschiebung \(u_1\) für \(F_1\) korrekt mit der Dehnung \(\epsilon\) und der Ausgangslänge \(l_0\) des Balkens berücksichtigt. Aber für \(F_2\), die Biegebelastung, ist die Berechnung der Verschiebung \(u_2\) ohne Details wie die Geometrie des Balkens, die Materialkonstanten oder die spezifische Anwendung der Last \(F_2\) komplexer. Es ist wichtig, die Art der Belastung (ob sie in der Mitte, am Ende oder verteilt ist) und die spezifischen Eigenschaften des Balkens (Material, Querschnitt) bei der Bestimmung von \(u_2\) zu berücksichtigen.
