Wie berechne ich das maximal übertragbare Drehmoment?

Question

Aufgabe:

Für eine Welle sind der Mindestwellendurchmesser und die zulässige Torsionsspannung bekannt. Berechnen Sie bitte das maximal übertragbare Drehmoment für diese Welle.

Gegeben sind:

dmin = 20 mm

τzul =  200 N/mm2

Geben Sie das maximal übertragbare Drehmoment in der Einheit Nm an. Verwenden Sie nur 2 Nachkommastellen.

Answer 1

τ_zul ... zulässige Torsionsspannung, M_t ... zulässiges Torsionsmoment = maximal übertragbares Drehmoment, W_p ... polares Widerstandsmoment, d_min ... Mindestwellendurchmesser

τ_zul = M_t / W_p → M_t = τ_zul * W_p

W_p = d_min³ * π / 16

M_t = τ_zul * d_min³ * π / 16 = 200 N * mm^-2 * (20 mm)³ * π / 16 ≈ 314159 Nmm ≈ 314,16 Nm

Answer 2

Antwort mit KI erzeugt

Berechnung des maximal übertragbaren Drehmoments

Um das maximal übertragbare Drehmoment (\(T_{\text{max}}\)) für eine Welle zu berechnen, unter der Annahme, dass der Mindestdurchmesser (\(d_{\text{min}}\)) und die zulässige Torsionsspannung (\(\tau_{\text{zul}}\)) gegeben sind, nutzen wir die Formel für die Torsionsspannung:

\( \tau = \frac{T \cdot r}{J} \)

Dabei ist:
- \(\tau\) die Torsionsspannung,
- \(T\) das Drehmoment,
- \(r\) der Radius der Welle, und
- \(J\) das polare Widerstandsmoment.

Für zylindrische Wellen kann das polare Widerstandsmoment (\(J\)) mit folgender Gleichung berechnet werden:

\( J = \frac{\pi \cdot d^4}{32} \)

wobei \(d\) der Durchmesser der Welle ist. In dieser Aufgabe ist \(d = d_{\text{min}} = 20\) mm.

Zu beachten ist, dass \(r = \frac{d}{2}\), somit vereinfacht sich die Gleichung zur Berechnung von \(\tau\) mit \(T\), indem direkt der Durchmesser genutzt wird.

Um das maximal übertragbare Drehmoment zu berechnen, formen wir die Gleichung nach \(T\) um und setzen die Werte ein:

\( T_{\text{max}} = \tau_{\text{zul}} \cdot J / r \)

Da \(J = \frac{\pi \cdot d^4}{32}\) und \(r = \frac{d}{2}\), ergibt sich:

\( T_{\text{max}} = \tau_{\text{zul}} \cdot \frac{\pi \cdot d^3}{16} \)

Einsetzen der gegebenen Werte (\(d = 20\) mm , \(\tau_{\text{zul}} = 200\) N/mm\(^2\)):

\( T_{\text{max}} = 200 \cdot \frac{\pi \cdot (20)^3}{16} = 200 \cdot \frac{\pi \cdot 8000}{16} \)

\( T_{\text{max}} = 200 \cdot \frac{8000\pi}{16} = 200 \cdot 500\pi = 1000\pi \approx 3141.59 \)

Da die Einheit des Durchmessers in mm und die Spannung in N/mm\(^2\) gegeben ist, ist das resultierende Drehmoment in Nmm. Um Nmm in Nm umzustellen, teilen wir durch 1000:

\( T_{\text{max}} \approx \frac{3141.59}{1000} \approx 3.14 \, \text{Nm} \)

Das maximal übertragbare Drehmoment für diese Welle beträgt also ca. 3.14 Nm.

Comments

meine Unterlagen zu dem Thema hole ich nicht hervor aber auch so kann ich sagen, dass die Antwort falsch ist. Wenn eine solche Welle nur 3,14 Nm übertragen kann, dann würde jede Radschraube an einem PKW mit 17 oder 19 mm Schlüsselweite abscheren, die werden nämlich mit ca. 120 Nm angezogen.

Nach kurzer Betrachtung habe ich auch (zumindest) einen Fehler in der KI-Berechnung gefunden.

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Kommentar mit KI erzeugt

Berechnung des maximal übertragbaren Drehmoments - Korrektur

Nach der Rückmeldung, die darauf hindeutet, dass ein Fehler in der vorherigen Antwort vorliegt, gehen wir das Problem Schritt für Schritt durch, um das maximal übertragbare Drehmoment unter Berücksichtigung des Mindestdurchmessers der Welle (\(d_{\text{min}}\)) und der zulässigen Torsionsspannung (\(\tau_{\text{zul}}\)) korrekt zu berechnen.

Die Formel für die Torsionsspannung lautet
\( \tau = \frac{T \cdot r}{J} \)
wobei:
- \(\tau\) die Torsionsspannung ist,
- \(T\) das Drehmoment ist,
- \(r\) der Radius der Welle ist, und
- \(J\) das polare Widerstandsmoment ist.

Für zylindrische Wellen wird das polare Widerstandsmoment \(J\) durch die Formel
\( J = \frac{\pi \cdot d^4}{32} \)
bestimmt, wobei \(d\) der Durchmesser der Welle ist.

Beim ersten Versuch gab es wohl einen Fehler in der Berechnung. Geben sind \(d_{\text{min}} = 20 \, \text{mm}\) und \(\tau_{\text{zul}} = 200 \, \text{N/mm}^2\).

Korrigieren wir den Ansatz unter Berücksichtigung der korrekten Einheiten und Formeln:

Der Radius \(r\) ist \(d/2\), hier also \(10 \, \text{mm}\).

Berechnen wir \(J\) korrekt:
\( J = \frac{\pi \cdot (20)^4}{32} = \frac{\pi \cdot 160000}{32} = \frac{5000\pi}{1} \approx 15707.96 \, \text{mm}^4 \)

Das Moment \(T\) ergibt sich dann durch Umstellen der ersten Gleichung nach \(T\),
\( T = \tau \cdot \frac{J}{r} \)
Einsetzen der Werte für \(\tau_{\text{zul}}\), \(J\), und \(r\):
\( T = 200 \cdot \frac{15707.96}{10} = 200 \cdot 1570.796 = 314159.2 \, \text{Nmm} \)

Dies entspricht:
\( T = 314159.2 \, \text{Nmm} = 314.159 \, \text{Nm} \)

Das korrekt berechnete maximal übertragbare Drehmoment beträgt also \(314.16 \, \text{Nm}\) (\(T_{\text{max}} \approx 314.16 \, \text{Nm}\)), nicht \(3.14 \, \text{Nm}\) wie zuvor fälschlicherweise berechnet.