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Teil b) Unsicherheit der Winkelmessung
Um die Unsicherheit \( u(\varphi) \) der Winkelmessung zu bestimmen, betrachten wir die gegebenen Informationen: Für 10 Schlitzperioden überstrichen auf dem Viertelkreis entspricht der Drehwinkel \( \varphi \) des Aktuatorarms genau \(2,0^\circ\). Daraus können wir die Unsicherheit der Winkelmessung infolge der diskreten Natur der Schlitzabstände herleiten.
Da eine Verschiebung um einen Schlitz (eine Periodendauer) einer Winkeländerung von \(2,0^\circ\) entspricht, entspricht dies der Winkeländerung, die durch das Überstreichen von 10 Schlitzperioden erreicht wird. Die kleinstmögliche messbare Winkeländerung entspricht daher dem Überstreichen von einem Schlitz. Die Unsicherheit der Messung kann als die Hälfte der kleinstmöglichen messbaren Änderung angenommen werden, da dies dem Unsicherheitsintervall entspricht, innerhalb dessen der tatsächliche Wert mit einer hohen Wahrscheinlichkeit liegen wird.
Die Unsicherheit \( u(\varphi) \) für eine Schlitzperiode ergäbe sich somit als:
\( u(\varphi) = \frac{2,0^\circ}{10} \times \frac{1}{2} = 0,1^\circ \)
Teil c) Mittelwert, Standardabweichung der Mittelwerte und erweiterte Unsicherheit
Zur Berechnung der mittleren Position \( \varphi_{m} \), deren Unsicherheit \( u(\varphi_{m}) \), und der erweiterten Messunsicherheit für ein Konfidenzintervall von 95 %, nutzen wir die gemessenen Positionswerte aus Tabelle 3.1.
1.
Mittelwert \( \varphi_{m} \):
\( \varphi_{m} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \varphi_{i} \)
\( N=10 \) ist die Anzahl der Messungen und \( \varphi_{i} \) sind die gemessenen Werte.
\( \varphi_{m} = \frac{19,5 + 19,3 + 19,9 + 20,0 + 20,1 + 19,4 + 19,8 + 19,7 + 20,1 + 19,3}{10} = \frac{197,1}{10} = 19,71^\circ \)
2.
Standardabweichung der Mittelwerte \( s(\varphi) \):
\( s(\varphi) = \sqrt{ \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} (\varphi_{i} - \varphi_{m})^2 } \)
\( s(\varphi) = \sqrt{\frac{(19,5-19,71)^2 + (19,3-19,71)^2 + … + (19,3-19,71)^2}{9}} \)
\( = \sqrt{\frac{1,0441}{9}} =\sqrt{0,1160} = 0,34^\circ \)
3.
Unsicherheit \( u(\varphi_{m}) \):
\( u(\varphi_{m}) = \frac{s(\varphi)}{\sqrt{N}} = \frac{0,34^\circ}{\sqrt{10}} = 0,11^\circ \)
4.
Erweiterte Unsicherheit \( U(\varphi) \):
Für ein Konfidenzintervall von 95 % und \( N=10 \) verwenden wir den t-Wert aus der Tabelle A.1 (angenommen als \( t = 2,262 \) für 9 Freiheitsgrade).
\( U(\varphi) = t \times u(\varphi_{m}) = 2,262 \times 0,11^\circ = 0,25^\circ \)
Das vollständige Messergebnis der Referenzmessung mit erweiterter Messunsicherheit für \( P=95\% \) ist daher:
\( \varphi = 19,71^\circ \pm 0,25^\circ \)
Teil d) Verfahren zur Messung der Drehzahl
Ein ähnliches Verfahren zur Messung der Drehzahl für eine DVD-Umdrehungsgeschwindigkeit kann durch Zählen der überstrichenen Schlitzperioden pro Zeitintervall erreicht werden. Es handelt sich hierbei um ein Verfahren der Frequenzmessung.
Die Drehzahl \( \omega \) (in Umdrehungen pro Minute, UPM oder in Radiant pro Sekunde) kann durch die Beziehung zwischen der Anzahl der überstrichenen Schlitze \( N \), der Zeit \( t \) und der gesamten Schlitzanzahl pro Umdrehung \( S \) berechnet werden. Die zusätzlich bekannte Größe ist die Zeit \( t \) oder die Schlitzanzahl \( S \) pro vollständiger Umdrehung.
Für die Berechnung in Umdrehungen pro Minute könnte die Formel lauten:
\( \omega = \left( \frac{N}{t} \right) \left( \frac{60}{S} \right) \)
- \( \omega \) ist die Drehzahl in Umdrehungen pro Minute oder Radiant pro Sekunde,
- \( N \) ist die Anzahl der überstrichenen Schlitzperioden,
- \( t \) ist die Zeit in Sekunden, und
- \( S \) ist die Anzahl der Schlitzperioden pro vollständiger Umdrehung.
