Antwort mit KI erzeugt
Teil a) Wie groß ist die Winkelbeschleunigung während der Krafteinwirkung?
Um die Winkelbeschleunigung \( \alpha \) zu bestimmen, benötigen wir zuerst das Trägheitsmoment \( I \) der Scheibe und das Drehmoment \( \tau \), das durch die Kraft \( F \) erzeugt wird.
Das Trägheitsmoment \( I \) einer homogenen Scheibe bezüglich ihrer Symmetrieachse ist gegeben durch:
\( I = \frac{1}{2} mR^2 \)
Setzt man die gegebenen Werte \( m = 10 \, \text{kg} \) und \( R = 1 \, \text{m} \) ein, erhält man:
\( I = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 1^2 = 5 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \)
Das Drehmoment \( \tau \) wird durch die Formel \( \tau = F \cdot r \) bestimmt, wobei \( r = R \) der Radius der Scheibe ist, an dem die Kraft wirkt. Also:
\( \tau = F \cdot R = 2 \cdot 1 = 2 \, \text{Nm} \)
Die Winkelbeschleunigung \( \alpha \) erhält man durch die Beziehung:
\( \tau = I \cdot \alpha \)
Umgestellt nach \( \alpha \) ergibt sich:
\( \alpha = \frac{\tau}{I} \)
Einsetzen der Werte liefert:
\( \alpha = \frac{2}{5} = 0,4 \, \text{rad/s}^2 \)
Teil b) Welche Winkelgeschwindigkeit hat die Scheibe nach der Krafteinwirkung?
Um die Winkelgeschwindigkeit \( \omega \) nach der Krafteinwirkung zu bestimmen, können wir die Arbeit-Energie-Beziehung nutzen. Die durch die Kraft \( F \) verrichtete Arbeit \( W \) wird vollständig in Rotationsenergie \( E_{\text{rot}} \) umgewandelt, welche wiederum von der Winkelgeschwindigkeit \( \omega \) abhängt.
Die Arbeit \( W \) ist gegeben durch:
\( W = F \cdot s \)
Einsetzen der Werte ergibt:
\( W = 2 \cdot 5 = 10 \, \text{J} \)
Die Rotationsenergie \( E_{\text{rot}} \) einer rotierenden Masse ist gegeben durch:
\( E_{\text{rot}} = \frac{1}{2} I \omega^2 \)
Da die gesamte Arbeit in Rotationsenergie umgewandelt wird, gilt:
\( W = \frac{1}{2} I \omega^2 \)
Umgestellt nach \( \omega \) ergibt sich:
\( \omega = \sqrt{\frac{2W}{I}} \)
Einsetzen der Werte liefert:
\( \omega = \sqrt{\frac{2 \cdot 10}{5}} = \sqrt{4} = 2 \, \text{rad/s} \)
Zusammenfassend beträgt die Winkelbeschleunigung \( 0,4 \, \text{rad/s}^2 \) und nach der Krafteinwirkung beträgt die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe \( 2 \, \text{rad/s} \).
