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Ausgangspunkt zur Berechnung des Drehmoments
Der Schlüssel zur Berechnung des Drehmoments auf die stromdurchflossene Leiterschleife liegt im Verständnis, wie das Magnetfeld des langen geraden Leiters auf die Schleife wirkt und wie die Lorentzkraft für einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld bestimmt wird.
Das Magnetfeld \( B \) eines langen geraden Leiters mit Strom \( I_2 \) in einem Abstand \( r \) von dem Leiter kann mit dem Gesetz von Biot-Savart oder einfacher mit der Ampereschen Regel berechnet werden:
\( B = \frac{\mu_0 \cdot I_2}{2\pi \cdot r} \)
Die Lorentzkraft \( F \), die auf einen stromdurchflossenen Leiter der Länge \( L \) im Magnetfeld wirkt, wird durch die Formel
\( F = I_1 \cdot L \cdot B \cdot \sin(\theta) \)
bestimmt, wobei \( \theta \) der Winkel zwischen der Stromrichtung und der Richtung des Magnetfeldes ist. In unserem Fall ist \( \theta = 90^{\circ} \) und daher \( \sin(\theta) = 1 \).
Berechnung des Drehmoments
Für die Berechnung des Drehmoments auf die rechteckige Leiterschleife betrachten wir, dass das Drehmoment \( \tau \) durch \( \tau = r \cdot F \) gegeben ist, wobei \( r \) der Abstand von der Achse, an der die Kraft angreift, ist. Hier müssen wir unterscheiden: Die Seiten der Leiterschleife, die parallel zum langen geraden Leiter (und somit zum Magnetfeld) verlaufen, erfahren keine Kraft, da die Bewegung der Elektronen parallel zum Feld und somit keine Lorentzkraft (\( F = 0 \)) auf sie wirkt. Die Kräfte, und damit die Drehmomente, entstehen nur aufgrund der beiden anderen Seiten der Schleife \( a \).
Das Magnetfeld wirkt jeweils in einem anderem Abstand von der Achse für jede Seite von \( a \). Der mittlere Abstand für die Seite näher zum langen Leiter ist \( c \), und für die andere Seite der Schleife ist es \( c + b \). Das Drehmoment resultiert aus der Differenz der Kräfte auf diese beiden Seiten wegen ihrer unterschiedlichen Abstände zum langen, stromführenden Leiter.
Die Kraft auf eine Seite der Länge \( a \), die einen Abstand \( r \) von dem langen Leiter hat, ist also:
\( F_r = I_1 \cdot a \cdot B_r = I_1 \cdot a \cdot \frac{\mu_0 \cdot I_2}{2\pi \cdot r} \)
Das gesamte Drehmoment, das auf die Schleife wirkt, ist die Differenz der Drehmomente an den beiden Seiten mit Längen \( a \), resultierend aus den Kräften bei \( c \) und \( c + b \):
\( \tau = \tau_{c+b} - \tau_{c} = a \cdot F_{c+b} - a \cdot F_{c} \)
Setzen wir die Formeln für \( F_r \) ein:
\( \tau = a \cdot \left( I_1 \cdot a \cdot \frac{\mu_0 \cdot I_2}{2\pi \cdot (c + b)} - I_1 \cdot a \cdot \frac{\mu_0 \cdot I_2}{2\pi \cdot c} \right) \)
Da hier \( a \) in die Formel für \( F_r \) schon eingeflossen ist, korrigieren wir den Ansatz für das Drehmoment auf:
\( \tau = \left( \frac{\mu_0 \cdot I_1 \cdot I_2 \cdot a}{2\pi} \right) \cdot \left( \frac{1}{c} - \frac{1}{c + b} \right) \)
Setzen wir nun die Werte ein:
- \( I_1 = 1\,A \)
- \( I_2 = 6\,A \)
- \( a = 2.5\,cm = 0.025\,m \)
- \( b = 3.5\,cm = 0.035\,m \)
- \( c = 3\,cm = 0.03\,m \)
- \( \mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7}\,T\cdot m/A \)
\( \tau = \left( \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 1 \cdot 6 \cdot 0.025}{2\pi} \right) \cdot \left( \frac{1}{0.03} - \frac{1}{0.03 + 0.035} \right) \)
\( \tau = \left( 6 \times 10^{-7} \cdot 0.025 \right) \cdot \left( \frac{1}{0.03} - \frac{1}{0.065} \right) \)
\( \tau = 1.5 \times 10^{-8} \cdot \left( 33.33 - 15.38 \right) \)
\( \tau = 1.5 \times 10^{-8} \cdot 17.95 \)
\( \tau = 2.6925 \times 10^{-7}\,Nm \)
Der berechnete Wert des Drehmoments, das auf die rechteckige Leiterschleife wirkt, beträgt etwa \( 2.6925 \times 10^{-7}\,Nm \).
