Grob gesagt, handelt es sich bei somatischen Schäden um Schädigungen die das Lebewesen selber betreffen. Also Strahlenkrankheit, Haarausfall usw.
Genetische Schäden werden erst "sichtbar" wenn das Lebewesen Nachkommen hat. Als Beispiel gibt es zum Beispiel in Gebieten mit hoher Strahlenbelastung mehr Missbildungen bei Kindern.
Hervorgerufen werden die Schäden entweder dadurch, dass Zellen durch die Strahlung zerstört werden oder das Erbgut verändert wird. Strahlung "reißt" Stücke aus Zellen. Und je nachdem welches Stück die Strahlung zerstört hat, kann es zu Schädigungen oder zu fehlerhaften Informationen bei der Zellteilung kommen.
Ist jetzt sehr grob ausgedrückt, aber für einen ersten Überblick sollte es reichen :D
Für weitere Infos: Wikipedia