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Konvertierung einer 2-dimensionalen Formel in 3-dimensional
Die angegebene 2-dimensionale Gleichung ist \(y = x^2\). Diese Gleichung beschreibt eine Parabel in der xy-Ebene. Wenn wir eine dritte Dimension, in diesem Fall \(z\), hinzufügen und wollen, dass \(z\) linear ist, bedeutet das, dass sich die Werte der \(z\)-Achse unabhängig von \(x\) und \(y\) verändern können, ohne die Form der Parabel zu beeinflussen.
Unter der Annahme, dass \(z\) linear und unabhängig von \(x\) und \(y\) ist, könnte eine einfache Möglichkeit, dies zu tun, darin bestehen, \(z\) einfach als eigene Variable hinzuzufügen. Eine solche 3-dimensionale Gleichung könnte dann so aussehen:
\(y = x^2 + kz\)
Hierbei ist \(k\) ein konstanter Faktor, der bestimmt, wie die \(z\)-Komponente die Gleichung beeinflusst. Allerdings, wenn wir wollen, dass \(z\) vollkommen unabhängig und linear ist, ohne die ursprüngliche Parabel-Beziehung zu beeinflussen, dann ist es passender, die Gleichung so umzuformulieren, dass \(z\) nicht die Beziehung zwischen \(x\) und \(y\) beeinflusst:
\(y = x^2, \quad z = z\)
In dieser Form bleibt die Relation zwischen \(x\) und \(y\) unverändert von \(z\), und \(z\) kann jeden beliebigen Wert annehmen, was bedeutet, dass die Parabel in der xy-Ebene für jeden Wert von \(z\) gleich bleibt. So entsteht effektiv ein "Parabelzylinder" entlang der z-Achse, wenn man diese Gleichung im 3-dimensionalen Raum darstellt.
Es gibt also keine Notwendigkeit, diese Gleichung in eine Matrix umzuwandeln, da die Beziehung direkt und einfach als Satz von Gleichungen ausgedrückt werden kann, die die Form des Graphen in drei Dimensionen beschreiben. Die finale 3-dimensionale Form würde also lauten:
\(y = x^2, \quad z = z\)
Das bedeutet, egal welchen Wert \(z\) annimmt, die Form der Parabel \(y = x^2\) in der xy-Ebene ändert sich nicht.
