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Lösung zur Aufgabe über Licht und Äther
Die Frage bezieht sich auf das Ergebnis des Michelson-Morley-Experiments, welches dazu diente, die Existenz des Äthers und dessen Einfluss auf die Lichtgeschwindigkeit nachzuweisen - oder, wie im Fall des Experiments, diesen Nachweis zu scheitern.
Das Experiment verwendet ein Interferometer, um die Lichtgeschwindigkeit in zwei Richtungen zu messen: einmal in die Richtung der Bewegung der Erde durch den vermuteten Äther (Lichtweg \(t_1\)) und einmal senkrecht dazu (Lichtweg \(t_2\)). Beide Arme haben die gleiche Länge \(l\). Die Geschwindigkeit, mit der sich die Erde vermeintlich durch den Äther bewegt, ist \(v\), während \(c\) die Lichtgeschwindigkeit ist.
Um zu zeigen, wie die gegebene Formel
\( t_1 = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \cdot t \)
zustande kommt, betrachten wir die Lichtausbreitung im ersten Arm des Interferometers, also in die Richtung der vermuteten Bewegung durch den Äther.
In diesem Fall wirkt sich die Bewegung der Erde durch den Äther sowohl auf den Hinweg als auch auf den Rückweg des Lichtstrahls aus. Für den Hinweg bewegt sich das Interferometer mit der Geschwindigkeit \(v\) auf das Licht zu und verkürzt somit die Distanz, die das Licht zurücklegen muss. Für den Rückweg bewegt sich das Interferometer weg vom Lichtstrahl, was die zu überwindende Distanz verlängert.
Dadurch ergibt sich für die Gesamtdauer \(t_1\) für den Lichtweg \(l\) hin und zurück im bewegten System:
\( t_1 = \frac{l}{c - v} + \frac{l}{c + v} \)
\( t_1 = \frac{l(c + v) + l(c - v)}{c^2 - v^2} \)
\( t_1 = \frac{2lc}{c^2 - v^2} \)
Nun möchten wir die Dauer \(t\) betrachten, die das Licht bräuchte, wenn sich das System nicht bewegen würde. Das entspricht einfach dem Hin- und Rückweg mit Lichtgeschwindigkeit ohne den Äthereinfluss:
\( t = \frac{2l}{c} \)
Nun können wir aus dem Ausdruck für \(t_1\) einen Zusammenhang mit \(t\) herstellen, indem wir \(t\) in die Gleichung einbringen:
\( t_1 = t \cdot \frac{c}{c^2 - v^2} \)
\( t_1 = t \cdot \frac{1}{\sqrt{c^2 - v^2}} \cdot \sqrt{c^2} \)
\( t_1 = t \cdot \frac{c}{\sqrt{c^2 - v^2}} \)
\( t_1 = t \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)
Es scheint, dass ein Fehler in der Interpretation oder Transkription der gesuchten Formel aufgetreten ist. Die korrekte Relation, die sich aus der theoretischen Annahme unter Einbezug der Effekte der relativen Bewegung ergibt, ist nicht direkt die angegebene Formel. Tatsächlich zeigt die obige Herleitung, wie man theoretisch die Gesamtdauer des Lichtwegs \(t_1\) im Bezug zur ungestörten Dauer \(t\) ausdrücken würde, wenn man die Effekte der relativen Bewegung berücksichtigt.
Um zu der angegebenen Formel in der Frage zu gelangen, müsste die Beziehung anders formuliert werden oder die Aufgabenstellung müsste eine genauere Beschreibung der gesuchten Größen oder Annahmen enthalten. Es ist wichtig zu bemerken, dass bei der korrekten Interpretation von Ergebnissen des Michelson-Morley-Experiments keine Änderung der Lichtgeschwindigkeit gemessen wurde, was die zwischenzeitlich angenommene Existenz eines Luminiferous Äthers widerlegt.
