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Teilkreisdurchmesser d1, d2, d3, d4
Der Teilkreisdurchmesser \(d\) eines Zahnrades berechnet sich generell mit der Formel:
\(d = m \times z\)
wobei \(m\) der Modul und \(z\) die Zähnezahl des Zahnrades ist.
Für die einzelnen Zahnräder ergibt sich demnach:
- \(d_1 = m_{12} \times z_1 = 4\, \text{mm} \times 15 = 60\, \text{mm}\)
- \(d_2 = m_{12} \times z_2 = 4\, \text{mm} \times 30 = 120\, \text{mm}\)
- \(d_3 = m_{34} \times z_3 = 6\, \text{mm} \times 15 = 90\, \text{mm}\)
- \(d_4 = m_{34} \times z_4 = 6\, \text{mm} \times 25 = 150\, \text{mm}\)
Umfangskräfte zwischen 1. und 2. Zahnrad
Die Umfangskraft \(F_t\), die aufgrund eines Drehmoments \(M\) auf ein Zahnrad wirkt, kann mit der Formel
\(F_t = \frac{2M}{d}\)
berechnet werden, wobei \(M\) das Drehmoment und \(d\) der Teilkreisdurchmesser ist.
Für das erste Zahnrad:
\(F_{t12} = \frac{2M_1}{d_1} = \frac{2 \times 120\, \text{Nm}}{0,06\, \text{m}} = \frac{240}{0,06} = 4000\, \text{N}\)
Drehmoment an der Zwischenwelle
Das Drehmoment an einem Zahnrad kann auch unter Berücksichtigung der übersetzung und des Eingangsdrehmoments berechnet werden. Die übersetzung \(\tau\) zwischen zwei Zahnrädern ist \(\tau = \frac{z_2}{z_1}\) für die erste Stufe und \(\tau = \frac{z_4}{z_3}\) für die zweite Stufe.
Das Drehmoment \(M_2\) an der Zwischenwelle (nach dem Eingriff mit dem zweiten Zahnrad) berechnet sich durch das Verhältnis der Zahnräder multipliziert mit dem Eingangsdrehmoment:
\( M_2 = M_1 \times \frac{z_2}{z_1} = 120\, \text{Nm} \times \frac{30}{15} = 240\, \text{Nm}\)
Umfangskraft zwischen 3. und 4. Zahnrad
Mit dem Drehmoment \(M_2\) an der Zwischenwelle und dem Teilkreisdurchmesser \(d_3\) kann die Umfangskraft \(F_{t34}\) zwischen dem dritten und vierten Zahnrad berechnet werden:
\(F_{t34} = \frac{2M_2}{d_3} = \frac{2 \times 240\, \text{Nm}}{0,09\, \text{m}} = \frac{480}{0,09} \approx 5333,3\, \text{N}\)
Abtriebsdrehmoment
Das Abtriebsdrehmoment \(M_4\) am vierten Rad kann unter Verwendung der übersetzung zwischen dem dritten und vierten Zahnrad berechnet werden:
\( M_4 = M_2 \times \frac{z_4}{z_3} = 240\, \text{Nm} \times \frac{25}{15} = 240\, \text{Nm} \times \frac{5}{3} = 400\, \text{Nm}\)
Zusammengefasst betrachtet führt die Berechnung zu folgenden Ergebnissen:
- Die Teilkreisdurchmesser \(d_1\), \(d_2\), \(d_3\), \(d_4\) sind 60 mm, 120 mm, 90 mm, und 150 mm.
- Die Umfangskraft zwischen dem 1. und dem 2. Zahnrad beträgt 4000 N.
- Das Drehmoment an der Zwischenwelle beträgt 240 Nm.
- Die Umfangskraft zwischen dem 3. und dem 4. Zahnrad beträgt ca. 5333,3 N.
- Das Abtriebsdrehmoment beträgt 400 Nm.
