Aufgabe zur erzwungenen Schwingung

Question

Aufgabe:Erzwungene Schwingung
\( \begin{array}{l} \hline m \ddot{y}+d \dot{y}+c y=F(t)=F \sin (\Omega t+\Phi) \\ \ddot{y}+2 D \omega_{0} \dot{y}+\omega_{0}^{2} y=y_{0} \omega_{0}^{2} \sin (\Omega t+\Phi) \end{array} \)
- Zeigen Sie, das unter der Bedingung \( D<1 \)
\( y_{h}(t)=\mathrm{e}^{-\delta t}\left(C_{1} \cos \omega_{d} t+C_{2} \sin \omega_{d} t\right) \)
die zugehörige homogene lineare Differentialgleichung löst! Dabei ist \( \delta=D \omega_{0}, \omega_{d}=\omega_{0} \sqrt{1-D^{2}} \)
Störgliedansatz zur Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung:
\( y_{p}(t)=a \sin (\Omega t+\Phi)+b \cos (\Omega t+\Phi) \)
- Zeigen Sie, dass
\( \begin{array}{l} a=\frac{y_{0} \omega_{0}^{2}\left(\omega_{0}^{2}-\Omega^{2}\right)}{\left(\omega_{0}^{2}-\Omega^{2}\right)^{2}+\left(2 D \omega_{0} \Omega\right)^{2}} \quad b=\frac{-2 y_{0} \omega_{0}^{3} D \Omega}{\left(\omega_{0}^{2}-\Omega^{2}\right)^{2}+\left(2 D \omega_{0} \Omega\right)^{2}} \\ \text { und mit } \eta=\frac{\Omega}{\omega_{0}} \\ \qquad \begin{array}{ll} a=\frac{y_{0}\left(1-\eta^{2}\right)}{\left(1-\eta^{2}\right)^{2}+(2 D \eta)^{2}} & b=\frac{-y_{0}(2 D \eta)}{\left(1-\eta^{2}\right)^{2}+(2 D \eta)^{2}} \\ y_{p}(t)=\frac{y_{0}}{\left(1-\eta^{2}\right)^{2}+(2 D \eta)^{2}}\left(\left(1-\eta^{2}\right) \sin \left(\omega_{0} \eta t+\Phi\right)-2 D \eta \cos \left(\omega_{0} \eta t+\Phi\right)\right) \end{array} \end{array} \)
Amplitude dieser Schwingung: \( c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=y_{0} V_{d}(\eta) \) mit der Vergrößerungsfunktion \( V_{d}(\eta)=\frac{1}{\sqrt{\left(1-\eta^{2}\right)^{2}+(2 D \eta)^{2}}} \)
Resonanzfall: \( V_{d}(\eta)=\max ! \)
- Zeigen Sie, dass die Vergrößerungsfunktion ihr Maximum an der Resonanzfrequenz \( \eta_{R}=\sqrt{1-2 D^{2}} \) annimmt und berechnen Sie die Resonanzamplitude \( c_{R} ! \)
- Plotten Sie die Lơsung für die Werte \( m=800 \mathrm{kg}, \mathrm{d}=1500 \mathrm{Ns} / \mathrm{m}, \quad c=10^{6} \mathrm{N} / \mathrm{m} \) für verschiedene Anfangsbedingungen \( \left(C_{1}\right. \) und \( C_{2} \) berechnen!) und verschiedene Erregerfrequenzen \( \Omega ! \)

Problem/Ansatz:

Ich komme mit dieser Aufgabe leider nicht klar kann diese Aufgabe jemand ausführlich mit Lösung lösen?

Answer 1

Hallo

du muss doch nur die gegebene Lösung differenzieren und einsetzen?  erstmal für F(t)=0 also die homogene Lösung,

dann die partikuläre Lösung, die auch vorgegeben ist differenzieren, einsetzen  und daraus a,b und φ bestimmen .

Das ist mit einsetzen der Konstanten ziemliche Schreibarbeit, da kannst du erstmal nen großen Teil leisten und dann fragen, wo du nicht weiterkommst.

Gruß lul