Wie berechnet man die Schwingungsdauer von folgendem Uhrenpendel?

Question

Aufgabe:

spezielle mehrmassige Uhrenpendel - Schwingungsdauer berechnen

Problem/Ansatz:

Wie berechnet man die Schwingungsdauer von folgendem Uhrenpendel?

An einem 2 m langen Stab (die Masse des Stabes ist zu vernachlässigen) sollen an beiden Enden je ein Gewicht von 2 kg befestigt werden. Der gemeinsame Schwerpunkt ist somit in der Stabmitte, also 1 m vom unteren Ende gemessen. Nun soll das Pendel 10 cm über dem gemeinsamen Schwerpunkt (110 cm von unten gemessen) gelagert werden, so dass der Stab mit den Gewichten frei um das Lager schwingen kann. Nun wird das Pendel unten um 10 cm ausgelenkt. Wie lange braucht es für eine Schwingung?

Comments

Hat keiner eine Idee, mit welcher Formel sich die Schwingungsdauer eines solchen zweimassigen Pendels berechnen lässt?

Answer 1

Wenn wir den Schwerpunkt des Pendels betrachten, ergibt sich

l= 0,1 m

bei kleinen Auslenkungen

T₀ = 2π \( \sqrt{\frac{l}{g}} \)

mit der Eigenfrequenz

φ₀ = ( \sqrt{\frac{g}{l}} \)

Die Schwingungsdauer ist von der Masse unabhängig.

Doch wir haben keine kleine Auslenkung, das macht es schwieriger.

Siehe mal unter

Exakte Lösung ( Numerische Lösung) bei

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Mathematisches_Pendel#:~:text=Bei%20kleinen%20Schwingungen%20ist%20die,der%20herrschenden%20Fallbeschleunigung%20bestimmt%20wird.

Comments

Vielen Dank für die Antwort. Die Auslenkung ist jedoch klein, denn 10 cm unten am unteren Ende des Pendels. Das Pendel ist von unten gemessen in 1,1 m höhe gelagert. Wenn also das untere Gewicht ein wenig nach rechts ausgelenkt wird, dann geht das obere Gewicht nach links, weil es sich 90 cm über der Lagerung befindet.

Dadurch ist die Schwingungsdauer wesentlich länger, als wenn man ein Gewicht am gemeinsamen Schwerpunkt befestigen würde. Dann wäre das Pendel ja nur 10 cm lang und würde schnell schwingen.

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Hast du dazu ein Experiment gemacht?

Ich denke, dass es so schwingen würde, wie ein Pendel mit der

Länge l = 0,10 m

Der Winkel ist aber immer noch groß, so dass wir nicht für den sin (α) die Bogenlänge setzen können.

Praktisch frage ich mich auch, wie es möglich ist, dass das Pendel steif, aber leicht sein soll. Es darf sich ja nicht verbiegen.

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Es gibt solche Uhren:

https://www.youtube.com/watch?v=ojdmaUYZNR8&list=PLCHvJL1Wty7yLb0i7EZx3oCM3zHLZ-bxP&index=12

https://www.youtube.com/watch?v=3JHnEABOFxc&list=PLCHvJL1Wty7yLb0i7EZx3oCM3zHLZ-bxP&index=8

Die Auslenkung kann auch klein gewählt (5 cm) werden, damit die Rechnung leichter wird. Aber dabei spielt die Trägheit auch eine Rolle.