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Phasengeschwindigkeit für elastische Querwellen
Die Phasengeschwindigkeit \(v\) für elastische Querwellen auf einem Seil, das unter seinem eigenen Gewicht gespannt wird, kann mit Hilfe der Seilspannung und der Massenbelegung (\(\mu\), Masse pro Längeneinheit des Seils) bestimmt werden. Die Phasengeschwindigkeit ist gegeben durch:
\( v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} \)
Dabei ist \(T\) die Seilspannung und \(\mu\) die Massenbelegung des Seils.
Im vorliegenden Fall hängt die Seilspannung vom Gewicht des Seils ab, das unterhalb des betrachteten Punktes hängt. Wenn das Seil homogen ist, kann die Massenbelegung \(\mu\) als konstant über die Länge des Seils betrachtet werden.
Für ein Seil mit der Gesamtmasse \(m\) und der Länge \(L\), ist die Massenbelegung:
\( \mu = \frac{m}{L} \)
Nun, die Seilspannung \(T\) in einem Punkt des Seils ist gleich dem Gewicht des unterhalb dieses Punktes hängenden Teils des Seils. Unter Verwendung der Erdbeschleunigung \(g\), kann die Seilspannung für jeden Punkt berechnet werden als:
\( T = \mu g (L - x) \)
wobei \(x\) die Entfernung vom unteren Ende des Seils zu dem Punkt ist, an dem die Spannung gemessen wird.
a) Unmittelbar unter der Decke
Unmittelbar unter der Decke (\(x = L\)):
\( T_{Decke} = \mu g (L - 0) = \mu g L \)
Setzen wir dies in die Formel für die Phasengeschwindigkeit ein:
\( v_{Decke} = \sqrt{\frac{T_{Decke}}{\mu}} = \sqrt{\frac{\mu g L}{\mu}} = \sqrt{g L} \)
Da keine spezifische Masse des Seils gegeben ist, verwenden wir direkt \(L = 10 \, \text{m}\) und \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\):
\( v_{Decke} = \sqrt{9.81 \times 10} = \sqrt{98.1} \approx 9.9 \, \text{m/s} \)
b) Auf halber Länge des Seils
Auf halber Länge des Seils (\(x = L/2\)):
\( T_{halb} = \mu g (L - \frac{L}{2}) = \mu g \frac{L}{2} \)
Einsetzen in die Formel für die Phasengeschwindigkeit:
\( v_{halb} = \sqrt{\frac{T_{halb}}{\mu}} = \sqrt{\frac{\mu g \frac{L}{2}}{\mu}} = \sqrt{\frac{g L}{2}} \)
Mit \(L = 10 \, \text{m}\) und \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\):
\( v_{halb} = \sqrt{\frac{9.81 \times 10}{2}} = \sqrt{49.05} \approx 7.0 \, \text{m/s} \)
Zusammenfassend beträgt die Phasengeschwindigkeit für elastische Querwellen unmittelbar unter der Decke ca. \(9.9 \, \text{m/s}\) und auf halber Länge des Seils ca. \(7.0 \, \text{m/s}\).
