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Berechnung der prozentualen Genauigkeit für den Durchmesser der Kapillare
Um die prozentuale Genauigkeit, mit der der Durchmesser der Kapillare gemessen werden muss, zu berechnen, müssen wir zunächst verstehen, wie der Strömungswiderstand \( R \) in einer Kapillare mit dem Durchmesser \( D \), der Länge \( l \), und der Zähigkeit \( \eta \) der Flüssigkeit zusammenhängt. Die Formel, die diese Abhängigkeit in einer geraden, kreiszylindrischen Kapillare angibt, basiert auf dem Gesetz von Hagen-Poiseuille:
\(
R = \frac{8 \eta l}{\pi D^4}
\)
Die Unsicherheiten der Messungen für \( l \) und \( \eta \) sind gegeben, und wir möchten den Strömungswiderstand \( R \) auf ±5% genau bestimmen. Um die benötigte Genauigkeit für den Durchmesser \( D \) zu finden, müssen wir betrachten, wie Unsicherheiten in \( l \), \( \eta \), und \( D \) die Unsicherheit in \( R \) beeinflussen.
Die relative Unsicherheit in \( R \) kann aus den relativen Unsicherheiten in \( l \), \( \eta \), und \( D \) unter Verwendung der linearen Fehlerfortpflanzung abgeleitet werden, da der Messfehler klein ist. Es gilt:
\(
\frac{\Delta R}{R} = \sqrt{\left( \frac{\partial R}{\partial l} \cdot \frac{\Delta l}{R} \right)^2 + \left( \frac{\partial R}{\partial \eta} \cdot \frac{\Delta \eta}{R} \right)^2 + \left( \frac{\partial R}{\partial D} \cdot \frac{\Delta D}{R} \right)^2}
\)
Da der Strömungswiderstand \( R \propto l \) und \( R \propto \eta \) sowie \( R \propto 1/D^4 \), können wir schreiben:
\(
\frac{\Delta R}{R} = \sqrt{\left( \frac{\Delta l}{l} \right)^2 + \left( \frac{\Delta \eta}{\eta} \right)^2 + 4^2\left( \frac{\Delta D}{D} \right)^2}
\)
Gegeben sind \( \Delta l/l = 0,3/45,2 \), \( \Delta \eta/\eta = 0,015/1,120 \), und der geforderte \( \Delta R/R = 0,05 \) (5%). Setzen wir die Werte ein und lösen nach \( \Delta D/D \) (der relativen Unsicherheit des Durchmessers) auf:
\(
0,05 = \sqrt{\left( \frac{0,3}{45,2} \right)^2 + \left( \frac{0,015}{1,120} \right)^2 + 16\left( \frac{\Delta D}{D} \right)^2}
\)
Berechnen wir die Werte im Quadratwurzelinnern:
\(
0,05 = \sqrt{\left( 0,006637168 \right)^2 + \left( 0,013392857 \right)^2 + 16\left( \frac{\Delta D}{D} \right)^2}
\)
\(
0,05^2 = \left( 0,006637168 \right)^2 + \left( 0,013392857 \right)^2 + 16\left( \frac{\Delta D}{D} \right)^2
\)
\(
0,0025 = 4,41 \cdot 10^{-5} + 1,79 \cdot 10^{-4} + 16\left( \frac{\Delta D}{D} \right)^2
\)
\(
0,0022246 = 16\left( \frac{\Delta D}{D} \right)^2
\)
\(
\left( \frac{\Delta D}{D} \right)^2 = \frac{0,0022246}{16} = 1,39 \cdot 10^{-4}
\)
\(
\frac{\Delta D}{D} = \sqrt{1,39 \cdot 10^{-4}} = 0,0118
\)
Also, muss der Durchmesser der Kapillare mit einer Genauigkeit von etwa \( 1,18\% \) gemessen werden, um den Strömungswiderstand auf ±5% genau bestimmen zu können.
