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Bestimmung der Winkelgeschwindigkeit \( \omega \), die den Korken löst
Um die Winkelgeschwindigkeit \( \omega \) zu bestimmen, die notwendig ist, um den Korken zu lösen, betrachten wir zunächst die Druckbedingungen im U-Rohr. Der durch die Drehbewegung entstehende Zentrifugaldruck wirkt zusätzlich zu dem hydrostatischen Druck auf den Korken. Nach dem Bernoulli-Prinzip ergibt sich für eine strömende Flüssigkeit in einem rotierenden System eine Erhöhung des Drucks von der Drehachse zum äußeren Ende des Rohres.
Die hydrostatische Druckdifferenz \( \Delta p \) zwischen den beiden Seiten des U-Rohres, ohne Berücksichtigung der Drehbewegung, kann mittels der Dichte \( \rho \), der Gravitationskraft \( g \) und dem Höhenunterschied \( \Delta h = z_2 - z_1 \) ausgedrückt werden als:
\( \Delta p = \rho g \Delta h \)
In einem rotierenden Bezugssystem tritt jedoch zusätzlich die Zentrifugalkraft als radiale Kraft auf. Die resultierende Druckdifferenz \( \Delta p_{\text{total}} \) an der Position des Korkens (Seite 2) wird durch die Zentrifugalkraft beeinflusst und ist von der Winkelgeschwindigkeit \( \omega \), der Dichte des Fluids \( \rho \) und dem Radius \( r_2 \) abhängig. Die Zentrifugalkraft \( F_{\mathrm{z}} \) auf eine Masse \( m \) mit einer Entfernung \( r_2 \) von der Drehachse bei einer Winkelgeschwindigkeit \( \omega \) ist \( F_{\mathrm{z}} = m\omega^2 r_2 \). Für eine Flüssigkeitssäule mit einem Volumen \( V \) und einer Masse \( m = \rho V \) gilt somit:
\( p_{\text{zentrifugal}} = \frac{F_{\mathrm{z}}}{A} = \frac{\rho V \omega^2 r_2}{A} \)
Da \( V = A h \) und \( A h = \text{Volumen der Säule} \), kann dies vereinfacht werden zu:
\( p_{\text{zentrifugal}} = \rho \omega^2 r_2 h \)
Der Korken wird sich lösen, sobald die Gesamtkraft, die durch die Druckdifferenz erzeugt wird, der von außen auf den Korken wirkenden Kraft \( F \) entspricht. Die Fläche \( A \), auf die der Druck wirkt, ist der Querschnitt des Rohres, \( A = \frac{\pi d^2}{4} \).
Die Bedingung für das Lösen des Korkens ist, dass die zentrifugale Druckdifferenz gleich der Kraft \( F \) geteilt durch die Fläche \( A \) ist:
\( \Delta p_{\text{total}} = \frac{F}{A} \)
Unter Einbeziehung der Zentrifugalkraft:
\( \rho \omega^2 r_2 h = \frac{F}{A} \)
Lösen wir diese Gleichung nach \( \omega \) auf:
\( \omega = \sqrt{\frac{F}{\rho r_2 h A}} \)
Da \( h \) die Höhendifferenz oder die effektive Höhe des Wassers darstellt, setzen wir dies ein und lösen nach \( \omega \):
\( \omega = \sqrt{\frac{F}{\rho r_2 \cdot \frac{\pi d^2}{4}}} \)
Bestimmung der Endhöhe des Fluids nach dem Lösen des Korkens
Nach dem Entfernen des Korkens und dem Erreichen eines neuen Gleichgewichtszustandes, ist der Druck im gesamten System gleich. Die Endhöhe des Fluids wird so adjustiert, dass die Zentrifugal- und Schwerkraftwirkungen im Gleichgewicht sind.
Für Teil b) betrachten wir die Einstellung des neuen Gleichgewichts nach dem Entfernen des Korkens und vernachlässigen den Austritt von Wasser, da wir nur an der Endverteilung interessiert sind. Da jedoch detaillierte Informationen oder Annahmen zur Anfangsmenge des Fluids und zur Geometrie des U-Rohrs nach dem Entfernen des Korkens fehlen, kann über die einfache Berechnung hinausgehend keine spezifische Lösung für die Endhöhe ohne zusätzliche Angaben oder Annahmen angeboten werden.
In einer solchen Situation hängt die spezifische Antwort auf Teil b) stark von den initialen Bedingungen und der Gesamtmasse des Fluids im System ab, sowie davon, wie das Fluid sich schlussendlich gleichmäßig auf beide Seiten des U-Rohrs verteilt, um das Gleichgewicht des Drehmoments und der hydrostatischen Kräfte zu erreichen.
