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A) Wie lange benötigt der Satellit zum nächsten Stern (4.244 Lichtjahre)?
Um die Reisezeit des Satelliten zum nächsten Stern zu bestimmen, verwenden wir zunächst die Information, dass die Geschwindigkeit des Satelliten 20% der Lichtgeschwindigkeit (\(c\)) beträgt. \(c = 300,000\) km/s, daher ist die Geschwindigkeit des Satelliten \(v = 0.2c = 0.2 \times 300,000\) km/s.
\(v = 60,000\) km/s.
Da 1 Lichtjahr die Distanz ist, die das Licht in einem Jahr zurücklegt, und da Lichtgeschwindigkeit \(300,000\) km/s beträgt:
1 Lichtjahr = \(300,000\) km/s \(\times\) \(60 \times 60\) s/h \(\times\) \(24\) h/d \(\times\) \(365\) d/y ≈ \(9.461 \times 10^{12}\) km.
Die Entfernung zum nächsten Stern beträgt \(4.244\) Lichtjahre, also:
Distanz = \(4.244 \times 9.461 \times 10^{12}\) km.
Die Zeit \(t\), die benötigt wird, um diese Distanz mit der Geschwindigkeit \(v\) zurückzulegen, wird durch die Formel \(t = \frac{\text{Distanz}}{v}\) berechnet.
\(t = \frac{4.244 \times 9.461 \times 10^{12} \text{ km}}{60,000 \text{ km/s}}\)
\(t = 6.70089 \times 10^{10} \text{ s}\).
Um \(t\) in Jahren umzurechnen, teilen wir durch die Anzahl der Sekunden pro Jahr (\(~31.536.000\) s/j).
\(t = \frac{6.70089 \times 10^{10} \text{ s}}{31.536.000 \text{ s/j}} \approx 2125\) Jahre.
Die Reisezeit zum nächsten Stern beträgt also etwa 2125 Jahre.
B) Wie schnell in km/h ist der Satellit?
Um die Geschwindigkeit des Satelliten von km/s in km/h umzurechnen, multiplizieren wir mit der Anzahl der Stunden in einer Sekunde (\(3600\) s/h).
\(v = 60,000 \text{ km/s} \times 3600 \text{ s/h} = 216,000,000 \text{ km/h}\).
C) Wie viel kinetische Energie steckt in dem Satelliten?
Die kinetische Energie \(E_k\) eines bewegten Objektes wird mit der Formel \(E_k = \frac{1}{2}mv^2\) berechnet, wobei \(m\) die Masse und \(v\) die Geschwindigkeit des Objekts ist. Die Masse des Satelliten beträgt 1 g oder \(0.001\) kg (in SI-Einheiten), und wir haben die Geschwindigkeit bereits als \(60,000\) km/s oder \(60,000,000\) m/s bestimmt.
\(E_k = \frac{1}{2} \times 0.001 \text{ kg} \times (60,000,000 \text{ m/s})^2\)
\(E_k = 0.5 \times 0.001 \times 3.6 \times 10^{15}\)
\(E_k = 1.8 \times 10^{12} \text{ Joule}\).
D) Welchen Impuls hat der Satellit? Wie schnell wäre ein Auto mit 1700 kg mit dem gleichen Impuls?
Der Impuls \(p\) eines Objekts wird durch das Produkt aus Masse (\(m\)) und Geschwindigkeit (\(v\)) berechnet: \(p = mv\).
\(p = 0.001 \text{ kg} \times 60,000,000 \text{ m/s} = 60,000 \text{ kg·m/s}\).
Ein Auto mit der Masse \(1700\) kg, das denselben Impuls hat, würde eine Geschwindigkeit \(v'\) haben, die durch die Umformung der Impulsformel bestimmt wird: \(v' = \frac{p}{m}\).
\(v' = \frac{60,000 \text{ kg·m/s}}{1700 \text{ kg}} = 35.29 \text{ m/s}\).
Um die Geschwindigkeit des Autos in km/h umzurechnen, multiplizieren wir mit \(3.6\).
\(v' = 35.29 \text{ m/s} \times 3.6 = 127.044 \text{ km/h}\).
Somit wäre ein Auto mit einer Masse von 1700 kg und dem gleichen Impuls wie unser Satellit etwa 127 km/h schnell.
