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Kraft auf Dipolmomente berechnen
Um die auf die elektrischen Dipole wirkenden Kräfte in dem gegebenen elektrischen Feld zu berechnen, muss man die allgemeine Formel für die Kraft \( \vec{F} \) auf einen elektrischen Dipol in einem elektrischen Feld verwenden. Diese lautet:
\( \vec{F} = (\vec{p} \cdot \nabla) \vec{E} \)
wo \( \vec{p} \) das Dipolmoment und \( \vec{E} \) das elektrische Feld ist. In diesem Fall ist das Feld \( \vec{E}(x, y)=k \cdot y \cdot \hat{e}_{x} + k \cdot x \cdot \hat{e}_{y} \).
Dipol 1: \( \vec{p}_{1} = p \cdot \hat{e}_{x} \)
Für den ersten Dipol können wir die Kraft berechnen, indem wir sein Moment und seine Position in die Formel einsetzen. Die Position ist \( \vec{r}_{1} = s \cdot \hat{e}_{y} \), was bedeutet, dass \( x=0 \) und \( y=s \) ist.
Zunächst berechnen wir das elektrische Feld an der Position des ersten Dipols:
\( \vec{E}(0, s) = k \cdot s \cdot \hat{e}_{x} + k \cdot 0 \cdot \hat{e}_{y} = k \cdot s \cdot \hat{e}_{x} \)
Der Gradient des elektrischen Feldes, \( \nabla \vec{E} \), ist in diesem Kontext eine Matrix der partiellen Ableitungen des Feldes in Bezug auf \( x \) und \( y \), aber für die Berechnung der Kraft auf einen Dipol, der sich nicht bewegen oder drehen kann, benötigen wir nur die Richtung des Dipolmoments und die räumliche Veränderung des Feldes in dieser Richtung. Da \( \vec{p}_{1} \) nur eine \( x \)-Komponente hat, interessiert uns hier nur die Änderung des Feldes in \( x \)-Richtung:
\( \frac{\partial \vec{E}}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(k \cdot y \cdot \hat{e}_{x}) = 0 \)
Da es im Feld \( \vec{E} \) keine \( x \)-Abhängigkeit in der \( x \)-Komponente gibt, und die \( y \)-Abhängigkeit für die Richtung, die von \( \vec{p}_{1} \) gegeben ist, irrelevant ist, erfahren wir, dass \( \vec{F}_{1} = 0 \). Es gibt also keine Kraft auf den ersten Dipol unter den gegebenen Einschränkungen.
Dipol 2: \( \vec{p}_{2} = p \cdot \hat{e}_{x} + p \cdot \hat{e}_{y} \)
Für den zweiten Dipol ist die Berechnung komplexer, da sein Dipolmoment Komponenten in sowohl \( x \)- als auch \( y \)-Richtung hat. Die Position von Dipol 2 ist \( \vec{r}_{2} = s \cdot \hat{e}_{x} + s \cdot \hat{e}_{y} \), was bedeutet \( x=s \) und \( y=s \).
Wir berechnen das elektrische Feld an der Position des zweiten Dipols:
\( \vec{E}(s, s) = k \cdot s \cdot \hat{e}_{x} + k \cdot s \cdot \hat{e}_{y} \)
Da jedoch die beim ersten Dipol angewandte Logik auch hier gilt und die Dipole nicht drehen können, führen wir eine ähnliche Analyse durch und finden heraus, dass die Kraftkomponenten entlang \( x \) und \( y \) von den partiellen Ableitungen von \( \vec{E} \) in diesen Richtungen abhängen. Aber auch hier gibt es keine \( x \)- oder \( y \)-Abhängigkeit in den entsprechenden Komponenten des Feldes, die zu einer Kraft aufgrund der gegebenen elektrischen Feldgleichung führen würde. Daher ist die erwartete Kraft auf den zweiten Dipol unter den angegebenen Einschränkungen ebenso null.
Zusammenfassend: Unter der Annahme, dass die Dipole fest sind und sich weder drehen noch bewegen können, gibt es in diesem spezifischen elektrischen Feld keine Kraft auf die beiden Dipole.
