Antwort mit KI erzeugt
Bewegungsgleichung des Elektrons:
Gegeben ist das Magnetfeld des magnetischen Monopols als \(\vec{B}(\vec{r}) = \frac{g \vec{r}}{r^3}\), wobei \(g\) eine Konstante ist. Die Lorentzkraft auf ein sich bewegendes Elektron mit Ladung \(-e\) (Negatives Vorzeichen, da Elektronen negative Ladung tragen) und Geschwindigkeit \(\vec{v}\) in einem Magnetfeld \(\vec{B}\) wird durch
\(
\vec{F}_{L} = -e(\vec{v} \times \vec{B})
\)
angegeben. Das Kreuzprodukt \(\vec{v} \times \vec{B}\) ergibt eine Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung des Elektrons und zur Richtung des Magnetfelds, was zu einer Zirkularbewegung führt.
Ersetzt man \(\vec{B}\) mit dem gegebenen \(\vec{B}(\vec{r})\), erhält man:
\(
\vec{F}_{L} = -e\left(\vec{v} \times \frac{g\vec{r}}{r^3}\right)
\)
Diese Gleichung beschreibt die Bewegung des Elektrons in einem radial symmetrischen Magnetfeld um einen magnetischen Monopol.
Erhaltungsgröße \( \vec{J} \):
Um zu zeigen, dass \( \vec{J}=\vec{r} \times \vec{p}+eg\frac{\vec{r}}{r} \) eine Erhaltungsgröße ist, müssen wir nachweisen, dass die zeitliche Ableitung von \(\vec{J}\) gleich Null ist:
\(
\frac{d\vec{J}}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec{r} \times \vec{p}) + e g \frac{d}{dt}\left(\frac{\vec{r}}{r}\right)
\)
Betrachtet man die klassische Bewegungsgleichung \(\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}\) und die Tatsache, dass \(\vec{F}_L\) die einzige wirkende Kraft ist (es gibt keine anderen Kräfte in diesem System), kann man den ersten Teil umformen, sodass:
\(
\frac{d}{dt}(\vec{r} \times \vec{p}) = \vec{r} \times \frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{r} \times \vec{F}_L
\)
Da \(\vec{F}_L\) senkrecht zu \(\vec{v}\) und ebenfalls zu \(\vec{r}\) steht (wegen des Kreuzprodukts mit \(\vec{r}\) in \(\vec{B}\)), kompensieren sich die Effekte der Lorentzkraft in der Richtung von \(\vec{r}\), was zur Erhaltung von \(\vec{J}\) führt:
\(
\frac{d\vec{J}}{dt} = 0
\)
Bewegung auf der Oberfläche eines Kegels:
Die Erhaltung von \(\vec{J}\) impliziert, dass die Bewegung des Elektrons in einer Ebene bleibt, die definiert wird durch die konstante Richtung von \(\vec{J}\). Dies bedeutet, dass die Bewegung des Elektrons auf der Oberfläche eines Kegels stattfindet, dessen Spitze im Ursprung liegt. Die Richtung von \(\vec{J}\) gibt die Achse des Kegels an.
Für den Offnungswinkel \(2\theta\) des Kegels gilt die Beziehung:
\(
\cos \theta = \frac{eg}{J}
\)
wobei \(J = |\vec{J}|\) die Größe des Drehimpulsvektors ist.
Bewegungsgleichungen in Kugelkoordinaten:
In Kugelkoordinaten ist der minimale Abstand \(r_0\) zum Ursprung gleich der \(r\)-Koordinate. Wir nehmen an, dass das Elektron eine Anfangsgeschwindigkeit hat, die senkrecht auf \(r_0\) steht, um den Kegelmantel zu beschreiben.
Durch die Erhaltung der kinetischen Energie \(T_{\mathrm{kin}}=\frac{m\vec{v}^2}{2}\) und den Erhalt des Drehimpulses können wir die Bewegung in Kugelkoordinaten formulieren, unter Beachtung der Bedingungen: \(\varphi(0) = 0\), \(r(0) = r_0\).
Bahnkurve auf dem Kegel:
Die Bahnkurve \(r(\varphi)\) folgt als:
\(
r(\varphi) = \frac{r_{0}}{\cos(\varphi \sin \theta)}
\)
wobei \(\sin \theta = \sqrt{1 - \left(\frac{e g}{J}\right)^2}\).
Diese Gleichung beschreibt, wie die Bahnkurve des Elektrons von einer Geraden in der Ebene in eine spiralähnliche Kurve auf der Kegeloberfläche übergeht.
Anfangsbedingung für das Auftreffen auf den magnetischen Monopol:
Das Elektron würde genau dann auf den magnetischen Monopol treffen, wenn der Weg, den es auf dem Kegel zurücklegt, direkt zur Spitze des Kegels führt, d.h., wenn \(\varphi \to \pm\infty\) für Bewegungen entlang des Kegelmantels. Da dies physikalisch nicht umsetzbar ist, kann das Elektron den Monopol unter realen Bedingungen nicht direkt treffen. Die einzig mögliche "Anfangsbedingung", die ein Treffen implizieren würde, wäre das Elektron exakt auf dem Monopol zu platzieren, was außerhalb der gegebenen Rahmenbedingungen liegt.
