Wie groß darf |v_0| höchstens sein, damit die Walze nie durchdreht?

Question

Aufgabe:

Ein Rad (Masse m, Radius r, Trägheitsradius k = r / 2–√ rollt auf einer rauen horizontalen Ebene (Haftreibungskoeffizient
μ0). Seine Achse ist durch zwei gleiche Federn (Federkonstante c) gefesselt. Die Auslenkung der Achse aus der Gleichgewichtslage heiße x.

Folgendes habe ich ausgerechnet:

Die Bewegungsgleichung lautet: \(\frac{3}{2}m\ddot {x}+cx=0\)

Die Haftreibungskraft R in Abhängigkeit von x lautet: \(R=\frac{2}{3}cx \)

Nun zu meinem Problem:
Wie groß darf |v_0| höchstens sein, damit die Walze nie durchdreht?

Das ist die Musterlösung: \(|v_{0}| \leq \mu_{0} g \sqrt{\frac{3m}{c}} \)

Ich weiß, dass ich nun das in die haftbedingung einsetzen muss: \(R \leq  \mu N\)

Ich kann nun R ableiten um \(\dot x\) zu erhalten.

Aber wenn mein N = mg ist, dann kommt nicht die Lösung raus.

mfg

Comments

Hier ist die Aufgabe:

Answer 1

Hallo

 deinen Ausdruck für die Haftreibungskraft verstehe ich nicht? wie kann die von x abhängen? normalerweise ist sie μ*m*g?

die Kraft 2c*x wirkt als Drehmoment  auf den Auflagepunkt, die Haftreibungskraft  muss dem mindestens entgegenwirken.

 da x' von x abhängt  natürlich auch die nötige Fr.

und was ist v_0, die Anfangsgeschwindigkeit in der Ruhelage?

wie kommst du auf deine Bewegungsgleichung?

Gruß lul

Comments

sry ich habe vergessen das bild hochzuladen. hier nochmal.

bewegungsgl. mit drall und impulssatz ganz normal.

ich weiß nicht was v_0 ist. ich bin mir nicht mal sicher ob das die geschwindigkeit ist oder Eigenfrequenz.

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also ich habe gerade was komisches gemacht, und keine ahnung ob das stimmt. aber laut wolfram ist mein ergebnis dasselbe wie in der musterlösung. nur ich komme irgendwie nicht auf die umformung.

also v_0 ist ja offensichtlich Geschwindigkeit. Aber eine frage zuvor war die Eigenfrequenz und irgendwie wird es auch v_0 geschrieben und hat mich kurz irritiert.

dazu ist erstmal eine teilfrage nötig unzwar hier musste ich x(t) berechnen:

Also ganz normal Dgl aufstellen und das Ergebnis ist:

$$ x=\frac{v_{0}}{2} \sqrt{\frac{3 m}{c}} \sin (2 \sqrt{\frac{c}{3 m}} t) $$

und nun das eben für x oben eins. also für x in R= 2/3 cx und mit N = mg:

ich komme irgendwie nicht auf die letzte umformung. aber wolfram sagt diese funktionen sind dasselbe.

mfg

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das ist nicht direkt die haftbedingung. dieser ausdruck ist nach umformen drall und impulssätze zustande gekommen. R ist genauso wie in der musterlösung.

v_0 ist unbekannt. es ist egal was genau v_0 ist. wichtig ist, dass wir bei haftreibung betrag verwenden dürfen.

Die bewegungsgleichung ganz normal durch drall und impulssätze umformen und kinematische bedingungen einsetzen.

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Das ist wohl richtig.

und die letzte umformung ist easy:

mfg