Antwort mit KI erzeugt
Lösung zur Aufgabenstellung:
Um die Aufgabenstellung zu lösen, gehen wir schrittweise vor und betrachten zunächst, wie man die maximal zulässige Last berechnet, die an dem Träger angebracht werden darf, ohne dass er sich dauerhaft verbiegt. Danach berechnen wir die Tiefe der Durchbiegung und diskutieren schließlich die Vernachlässigung des Eigengewichts des Trägers.
Berechnung der maximal zulässigen Last:
Gemäß der Aufgabenstellung gibt es die Informationen zu den Materialeigenschaften, dem Flächenträgheitsmoment und dem Widerstandsmoment. Von hier aus können wir die maximale Biegespannung (\(\sigma_{max}\)) berechnen, die mithilfe des Hookeschen Gesetzes (\(\sigma = E \cdot \epsilon\)) und der maximal zulässigen Dehnung (\(\epsilon_{max} = 0.17\%\)) ermittelt wird:
\(
\sigma_{max} = E \cdot \epsilon_{max} = 210\, \text{kN/mm}^2 \cdot 0.0017 = 357\, \text{N/mm}^2
\)
Die Beziehung zwischen der maximalen Biegespannung und dem Biegemoment (\(M_b\)) bei maximaler Last ohne dauernde Verformung ist:
\(
\sigma_{max} = \frac{M_b}{W}
\)
Daraus lässt sich das maximale Biegemoment berechnen:
\(
M_b = \sigma_{max} \cdot W = 357\, \text{N/mm}^2 \cdot 4500\, \text{mm}^3 = 1.6065\cdot10^6\, \text{Nmm}
\)
Da das Biegemoment (\(M_b\)) auch durch die Beziehung \(M_b = F \cdot L\) gegeben ist, können wir die maximale Kraft \(F\) berechnen:
\(
F = \frac{M_b}{L} = \frac{1.6065\cdot10^6\, \text{Nmm}}{4000\, \text{mm}} = 401.625\, \text{N}
\)
Somit darf die Last maximal \(401.625\, \text{N}\) oder gerundet \(402\, \text{N}\) schwer sein.
Berechnung der Tiefe der Durchbiegung:
Die Durchbiegung eines Balkens am Ende wird gegeben durch die Formel:
\(
f = \frac{F \cdot L^3}{3 \cdot E \cdot I}
\)
Setzen wir die gegebenen Werte ein und benutzen das Flächenträgheitsmoment \(67500\, \text{mm}^4\):
\(
f = \frac{401.625\, \text{N} \cdot (4000\, \text{mm})^3}{3 \cdot 210\,000\, \text{N/mm}^2 \cdot 67500\, \text{mm}^4} = \frac{6.426 \cdot 10^{13}\, \text{Nmm}^3}{42.525 \cdot 10^9\, \text{Nmm}^2} \approx 1.511\, \text{mm}
\)
Das Ende des Trägers biegt sich demnach etwa \(1.51\, \text{mm}\) nach unten, wenn die maximal zulässige Last angehängt wird.
Diskussion zur Vernachlässigung des Eigengewichts des Trägers:
Das Eigengewicht des Trägers wurde in dieser Rechnung nicht berücksichtigt, aufgrund der Annahme, dass es vernachlässigbar ist. Diese Annahme ist in der Praxis häufig gerechtfertigt, wenn das Eigengewicht des Trägers im Vergleich zur belastenden Kraft klein ist. Im Kontext der Aufgabenstellung, bei der die maximale Belastung und die resultierende Biegespannung im Fokus stehen, ist diese Vereinfachung akzeptabel.
Dennoch könnte für eine genauere Analyse oder bei einem Träger mit signifikantem Eigengewicht eine detaillierte Berechnung, welche die Gewichtskraft des Trägers als verteilte Last über seine Länge berücksichtigt, notwendig sein.
