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Induktionsgesetz - Feder in Schwingung
Um die Aufgaben zu lösen, gehen wir schrittweise vor und nutzen physikalische Grundlagen.
a) Die Berechnung der Stromstärke
Die induzierte Spannung in einer Schleife im Magnetfeld, wenn sich die magnetische Flussdichte (\(B\)) ändert, kann mit dem Faraday’schen Induktionsgesetz berechnet werden:
\(
\epsilon = -N \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}
\)
In diesem Fall wird jedoch nicht die Änderung der Flussdichte, sondern die Bewegung der Stange durch das Magnetfeld betrachtet. Hier ist \(N=1\), da wir von einer Induktionsschleife ausgehen.
Da die Eisenstange mit einer Frequenz von 50 Hz schwingt, ändert sich ihre Position und damit der von ihr im Magnetfeld bedeckte Bereich zyklisch. Für die induzierte Spannung aufgrund der Bewegung gilt:
\(
\epsilon = B \cdot v \cdot l
\)
wobei \(v\) die Geschwindigkeit der Stange und \(l\) die Breite der Schleife ist.
Die maximale Geschwindigkeit (\(v_{max}\)) einer schwingenden Masse wird durch \(2 \pi f A\) gegeben, wobei \(A\) die Amplitude und \(f\) die Frequenz ist.
Setzen wir die gegebenen Werte ein: \(A = 0.01\)m (1 cm), \(f = 50\)Hz, \(l = 0.1\)m (10 cm), \(B = 0.3\)T, erhalten wir:
\(
v_{max} = 2 \pi \cdot 50 \cdot 0.01 = \pi \, \text{m/s}
\)
Daraus folgt für die maximale induzierte Spannung:
\(
\epsilon_{max} = 0.3 \cdot \pi \cdot 0.1 = 0.3\pi \, \text{V}
\)
Um die maximale Stromstärke (\(I_{max}\)) zu berechnen, die durch diese Spannung in einem Widerstand (\(R\)) verursacht wird, verwenden wir das Ohm’sche Gesetz:
\(
I = \frac{V}{R}
\)
Da jedoch der Widerstand \(R\) nicht angegeben ist, kann die Stromstärke ohne diese Information nicht exakt berechnet werden. Die Gleichung würde dann so aussehen:
\(
I_{max} = \frac{\epsilon_{max}}{R} = \frac{0.3\pi}{R}
\)
b) Amplitude der induzierten Spannung
Die Amplitude der induzierten Spannung haben wir bereits im vorherigen Schritt als \(\epsilon_{max} = 0.3\pi\) V berechnet.
c) Induktive Spannung im Zeitverlauf
Die induzierte Spannung ändert sich sinusförmig mit der Zeit, weil die Geschwindigkeit der Eisenstange, die eine harmonische Bewegung ausführt, sinusförmig variiert. Mathematisch lässt sich das als
\(
\epsilon(t) = \epsilon_{max} \sin(2\pi ft)
\)
ausdrücken. Setzt man hier die gegebenen Werte ein, ergibt sich:
\(
\epsilon(t) = 0.3\pi \sin(100\pi t)
\)
Dies zeigt, wie die Spannung über die Zeit hinweg variiert – sie schwingt mit doppelter Frequenz der Eisenstange, da die Geschwindigkeit (und damit die induzierte Spannung) sowohl bei der Vorwärts- als auch Rückwärtsbewegung der Stange einen Spitzenwert erreicht.
d) Formel für die Leistung des Widerstands
Die Leistung (\(P\)) in einem Widerstand, verursacht durch induzierte Spannung, ergibt sich aus
\(
P = I^2R = \left(\frac{\epsilon}{R}\right)^2R = \frac{\epsilon^2}{R}
\)
Setzt man die Amplitude der induzierten Spannung ein, so erhalten wir für die maximale Leistung
\(
P_{max} = \frac{\epsilon_{max}^2}{R} = \frac{(0.3\pi)^2}{R}
\)
Dies ist die maximale Leistung, die im Widerstand dissipiert wird, basierend auf der maximalen induzierten Spannung.
