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Krümmungsradius der Flugbahn der Rakete
Zur Bestimmung des Krümmungsradius der Flugbahn der Rakete bei einer Geschwindigkeit von \(v = 1800 \, \text{km/h}\) und einem Steigwinkel \(\alpha = 85^\circ\) zum waagrechten Boden nutzen wir die Zentripetalkraftformel. Wir gehen hierbei von einer reinen Schwerkraftwirkung aus, da angenommen wird, dass die Triebwerke keine zusätzliche Bahnkrümmung erzeugen. Die Zentripetalkraft, die benötigt wird, um die Rakete auf ihrer gekrümmten Bahn zu halten, entspricht also der Gewichtskraftkomponente, die in Richtung des Bahnzentrums wirkt.
Die Geschwindigkeit \(v\) wird zunächst von km/h in m/s umgerechnet, da die Beschleunigung \(g\) in m/s² angegeben ist.
\( 1800 \, \text{km/h} = 1800 \times \frac{1000 \, \text{m}}{1 \, \text{km}} \times \frac{1 \, \text{h}}{3600 \, \text{s}} = 500 \, \text{m/s} \)
Die Zentripetalkraft \(F_z\) wird durch die Formel \(F_z = m \cdot \frac{v^2}{r}\) beschrieben, wobei \(m\) die Masse der Rakete, \(v\) ihre Geschwindigkeit und \(r\) der gesuchte Krümmungsradius ist. Da \(F_z\) durch die Gewichtskraftkomponente in Zentripetalrichtung gegeben ist, gilt sie als \(m \cdot g\), wobei \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\).
Da die Rakete nahezu senkrecht mit einem Winkel von \(\alpha = 85^\circ\) steigt, und die waagrechte Komponente der Geschwindigkeit, die die Krümmung verursachen würde, relativ klein ist im Vergleich zur gesamten Geschwindigkeit der Rakete, könnte man fast argumentieren, dass der größte Teil der Gravitationskraft als Zentripetalkraft angesehen wird. Doch betrachten wir den Einfluss des Winkels \(\alpha\) genauer, fokussieren wir uns darauf, dass der Einfluss gering ist und somit der gesamte Betrag \(g\) in Richtung des Erdzentrums wirkt und dazu führt, dass wir direkt die Gravitationskraft als Zentripetalkraft anwenden können.
Die Formel nach dem Krümmungsradius \(r\) umgestellt, ergibt:
\( r = \frac{v^2}{g} \)
Setzen wir die bekannten Werte ein:
\( r = \frac{(500 \, \text{m/s})^2}{9.81 \, \text{m/s}^2} = \frac{250000 \, \text{m}^2/\text{s}^2}{9.81 \, \text{m/s}^2} \approx 25484 \, \text{m} \)
Daher beträgt der Krümmungsradius der Flugbahn der Rakete, aus der Sicht der Bodenstation und unter den gegebenen Bedingungen, ungefähr 25.484 Meter oder etwa 25,5 Kilometer.
