Schwingdauer eines Fadenpendels (Verlängerung)

Question

Die Schwingdauer T eines Fadenpendels ist  von dee pendelnden Masse m unabhängig und kann für kleine Auslenkungen mit der Gleichung        T=2π\( \sqrt{l/g } \)    (l:Fadenlänge)

(g= 9,81 \( \frac{m}{s²} \)   :Ortsfaktor)

Berechnet werden.

Aufgabe lautet : Auf das Wievielfache muss der Faden verlängert werden,damit sich die Schwingungsdauer T um 50 % (10%, 75%) vergrößert?

Könnte das mir bitte erklären wie das funktioniert?

danke im voraus ;)

Comments

Nachfragen bitte immer unter der Originalfrage !

https://www.nanolounge.de/24199/schwingungsdauer-t-eines-fadenpendels

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Anscheinend ist es uns beiden nicht gelungen, Jessi zu überzeugen :-)

Answer 1

Hallo Jessi,

vergrößert man in der Formel   \(T=2π· \sqrt{l/g } \)   die Länge l  auf 1,5² · l  = 2,25 l , kann man 1,5 vor die Wurzel ziehen.

→  T_neu = 1,5 · T_alt  , das ist eine Vergrößerung um 50% 

→  Vergrößerung der Fadenlänge  auf das  2,25 - fache     [ 1,1² bei 10% , 1,75² bei 75 % ]

Gruß Wolfgang

Comments

Wie komme ich auf die 1,5²?

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 \(T_{alt}=2π· \sqrt{\dfrac{l}{g}} \)

Wenn sich T um 50% vergrößern soll (indem man l vergrößert), muss T auf das 1,5-fache anwachsen:

In der o.g. Forrmel muss also vor der Wurzel der Faktor 1,5 hinzukommen. Diesen kann man dann als 1,5² in die Wurzel ziehen:

\(T_{neu}=2π·1,5· \sqrt{\dfrac{l}{g}} =2π·\sqrt{\dfrac{\color{blue}{1,5^2·l}}{g}}\)

Wenn man jetzt T_alt und T_neu vergleicht, erkennt man, dass

\(l_{neu} = \color{blue} { 1,5^2·l_{alt} } = 2,25·l_{alt} \)  gelten muss.

analog:

Bei einer Vergrößerung von T um 10%  auf das 1,1² - fache

Bei einer Vergrößerung von T um 75%  auf das 1,75² - fache

(der Kommentar wurde - zum hoffentlich besseren Verständnis - neu gefasst)

Answer 2

Salut Jessi,

stelle deine Formel um nach der gesuchten Größe l:

(Umformungsschritte nur bei Interesse ;))

T  =  2 * π * √(l / g)         I quadrieren

T²  =  4 * π² * l / g          I  * g

T² * g  =  4 * π²  * l          I  / 4 * π²

T² * g  /  (4 * π²)  =  l

und du erhältst:

l  =  T² * g  /  (4 * π²)

Auf das Wievielfache muss der Faden verlängert werden,damit sich die Schwingungsdauer T um 50 % (10%, 75%) vergrößert?

( T  =  1  ⇒  l  =  0,24850 )

Nun die Vergrößerung von T um 50%:

T  =  1 + 0,5 = 1,5  ⇒  l  =  0,5591  = Vergrößerung der Fadenlänge also um das (0,5591 / 0,24850) = 2,25 - fache.

Vergrößerung von T um 10%:

T  =  1,1  ⇒  l  =  0,3  =  Vergrößerung der Fadenlänge um das (0,3 / 0,24850) = 1,2 - fache

Vergrößerung von T  um 75%:

T  =  1,75  ⇒  l  =  0,761  =  Vergrößerung der Fadenlänge um das 3,06 - fache.

Schöne Grüße :)