Aufgabe:
a) Durch \( \gamma(t)=\left(\begin{array}{c}{t} \\ {t^{2}}\end{array}\right), t \in[1,2], \) sei ein Draht parametrisiert. Seine Massendichte ist gegeben durch \( \rho(x, y)=x . \) Berechnen Sie die Gesamtmasse des Drahts.
b) Gegeben sind zwei Vektorfelder: Das elektrische Feld \( E: \mathbb{R}^{3} \mapsto \mathbb{R}^{3} \) und das magnetische Feld \( B: \mathbb{R}^{3} \mapsto \mathbb{R}^{3} . \) Ein geladenes Teilchen mit Ladung \( q \) bewege sich in diesen Feldern entlang der Kurve
$$ \gamma(t):[0, T] \mapsto \mathbb{R}^{3} $$
Dann ist die Lorentz-Kraft, die auf dieses Teilchen wirkt gegeben durch
$$ F=F_{\mathrm{el}}+F_{\mathrm{maq}}=q E+q \dot{\gamma} \times B $$
i) Zeigen Sie, dass das Magnetfeld keine Arbeit verrichtet.
ii) Sei das elektrische Feld gegeben durch
$$ E(\boldsymbol{x})=C \frac{\boldsymbol{x}}{\|\boldsymbol{x}\|^{3}} $$
und die Trajektorie des Teilchens durch
$$ \gamma(t)=\exp (-t)\left(\begin{array}{c} {\cos (2 \pi t)} \\ {\sin (2 \pi t)} \\ {0} \end{array}\right), \quad t \in[0, T] $$
Berechnen sie die Arbeit, die die Felder an dem Teilchen verrichten. Hinweis: Die Arbeit ist gegeben durch das Kurvenintegral 2. Art: \( W =\int \limits_{\gamma} F \cdot d \gamma \)
Problem/Ansatz:
a) Hier habe ich versucht die Aufgabe mit folgendem Ansatz zu lösen: m=\( \int\limits_{1}^{2} \)ρ(γ(t))||γ`(t)|| dt.
Bekomme dann aber Probleme beim Aufleiten.
b) Hier gehe ich davon aus, dass der Weg oder die kraft =0 sein müssen. In diesem Fall wahrscheinlich der Weg.
Hilft es hier die Rotation zu bilden?
