Antwort mit KI erzeugt
Schreiben Sie die Zerfallsreaktionen auf.
Die Zerfallsreaktionen für \(^{218}Po\) können wie folgt aufgeschrieben werden:
1. \(^{218}Po \rightarrow ^{214}Pb + \alpha\) mit einer Wahrscheinlichkeit von \(99.98\%\).
2. \(^{218}Po \rightarrow ^{218}At + \beta^-\) mit einer Wahrscheinlichkeit von \(0.02\%\).
Ermitteln Sie die Zerfallskonstante von \(^{218}Po\) sowie die Geschwindigkeitskonstante für die Bildung von \(^{214}Pb\) und \(^{218}At\).
Die Halbwertszeit (\(t_{1/2}\)) von \(^{218}Po\) ist gegeben mit 3.1 Minuten. Die Zerfallskonstante (\(k_{tot}\)) für einen radioaktiven Zerfall kann mit der Formel
\(
k_{tot} = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}}
\)
berechnet werden.
Einsetzen der gegebenen Halbwertszeit von 3.1 Minuten:
\(
k_{tot} = \frac{\ln(2)}{3.1} \approx \frac{0.693}{3.1} \approx 0.2235 \, \text{min}^{-1}
\)
Da \(k_{tot} = k_1 + k_2\), wobei \(k_1\) die Geschwindigkeitskonstante für die Bildung von \(^{214}Pb\) und \(k_2\) die Geschwindigkeitskonstante für die Bildung von \(^{218}At\) darstellt, können wir diese Werte nun wie folgt berechnen:
\(
k_1 = k_{tot} \times 99.98\% = 0.2235 \times 0.9998 \approx 0.2234 \, \text{min}^{-1}
\)
\(
k_2 = k_{tot} \times 0.02\% = 0.2235 \times 0.0002 \approx 0.000045 \, \text{min}^{-1}
\)
Wie groß ist die \(\beta\)-Zerfallsenergie?
Zur Ermittlung der \(\beta\)-Zerfallsenergie zwischen \(^{218}Po\) und \(^{218}At\) kann die Masse-Differenz zwischen den beiden Isotopen betrachtet werden. Der Energieäquivalenzwert für Masse kann mit Einsteins \(E=mc^2\) berechnet werden.
Gegeben ist:
- \(m(^{218}Po) = 218,00897 \, u\)
- \(m(^{218}At) = 218,00862 \, u\)
Die Differenz der Massen (\(\Delta m\)) ist:
\(
\Delta m = m(^{218}Po) - m(^{218}At) = 218,00897 \, u - 218,00862 \, u = 0,00035 \, u
\)
Um diese Masse in Energie umzurechnen, verwenden wir die Umrechnung \(1 \, u = 931.5 \, \text{MeV/c}^2\):
\(
E = \Delta m \cdot c^2 = 0,00035 \, u \cdot 931.5 \, \text{MeV/c}^2 \approx 0.326 \, \text{MeV}
\)
Somit beträgt die \(\beta\)-Zerfallsenergie ungefähr 0.326 MeV.
Nutzung von \(N\) in Berechnungen:
In den gegebenen Gleichungen und Formeln kann \(N\) sowohl in absoluten Teilchenzahlen als auch in massenbezogenen Einheiten (z.B. mg) verwendet werden, vorausgesetzt, es wird konsistent durchgerechnet. Ein direkter Bezug zur Menge (in Mol oder einer anderen Einheit) kann nötig sein, um spezifische Größen wie Aktivitäten zu berechnen, die auf bestimmte Mengen des Materials bezogen sind.
