Drehimpulserhaltungssatz: Drehimpuls der Erde bei geändertem Radius?

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mit Hilfe der Drehimpulserhaltung, wie lange die Drehung der Erde dauern würde, wenn
die Erde (bei gleichbleibender Masse) plötzlich auf 60% ihres Durchmessers schrumpfen würde.

Problem/Ansatz:

Ich habe damit angefangen, die Gravitationskraft der "neuen" Erde auszurechnen, indem ich folgende Formel benutzt habe:

Fg = φ m * M(Erde) / r(erde)^2

Dann umgeformt (gemäss Skript): G(r_e) = φ M(erde) / r(erde)^2

Dabei habe ich für r = 6.4 * 10^6 * 0.6 = 3.84 * 10^6 eingesetzt, weil die "neue" Erde ja einen um 60% kleineren Radius hat. (Zwischenfrage: hätte ich * 0.3 nehmen müssen, weil in der Aufgabe steht, es seien 60% des Durchmessers, nicht aber 60% des Radius - das wären dann 30% des Radius?)

Die Hauptfrage ist jedoch eine andere.

Ich habe also für G(re) = 27.14N/kg bekommen.

Jetzt weiss ich nicht mehr weiter. Wie soll ich anhand von der neuen Gravitationskonstante die Zeit ausrechnen? Und das anhand des Drehimpulserhaltungssatzes?

Mein Ansatz ist bisher, dass ich sage, der Impuls muss derselbe sein wie vorher, aber da die Erde einen kleineren Radius aber dieselbe Masse hat, wird sie sich schneller drehen als zuvor?

Doch in der Formel L = Jw (Drehimpuls) weiss ich nicht, wie ich da die Zeit herleiten kann. Irgendeine Idee?

Bin dankbar um jede Hilfe!

Answer 1

Hallo

 das neue G ist uninteressant , davon hängt der Drehimpulserhaltung nicht ab. Drehimpuls=Trägheismoment* Winkelgeschwindigkeit und der bleibt erhalten, also musst du nur das neue  und alte dreTrägheitsmoment ausrechen in Abhängigkeit von r, da meiste kürzt sich dann, wenn du einsetzt. und natürlich muss man die 24h Umdrehungszeit kennen.

Gruß lul

Comments

Okay, vielen Dank!

Mit dem Trägheitsmoment kenne ich mich auch noch nicht so gut aus.

Sieht das dann ungefähr so aus:

2/5 * m * r1^2 * (2*pi)/T1 = 2/5 * m * r2^2 * (2*pi)/T2

bzw.:

r1^2 * (2*pi)/T1 = r2^2 * (2*pi)/T2

Und dann nach T2 auflösen?

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Alles gut, habs geschafft! Vielen Dank!!