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Berechnung von Harmonischen Oberwellen mit Hilfe von DFT
Um die harmonischen Oberwellen eines Sinussignals zu bestimmen, ist die Discrete Fourier Transform (DFT) und somit die Fast Fourier Transform (FFT) ein sehr geeignetes Werkzeug. Insbesondere ermöglicht die FFT, aus einem zeitbasierten Signal seine Frequenzkomponenten zu identifizieren.
Grundlagen
Die FFT eines Signals gibt uns ein Spektrum an Frequenzen, die im Signal enthalten sind. Da du ein Abtastintervall von 180 Punkten hast und mit einer Frequenz von 50 Hz arbeitest, ist es wichtig, zu verstehen, wie die FFT die Frequenzen abbildet.
Abbildung von Frequenzen in der FFT
Die Position der Frequenzkomponenten in der FFT-Ausgabe ist von der Abtastrate und der Anzahl der Datenpunkte des Eingangssignals abhängig. Die grundlegende Formel zur Berechnung der Frequenz \(f\) für einen gegebenen Index \(n\) in der FFT-Ausgabe ist:
\(
f = \frac{n \cdot F_s}{N}
\)
wobei \(F_s\) die Abtastrate (Sample Rate) und \(N\) die Gesamtzahl der Datenpunkte ist. Für die N-Point DFT reichen die Frequenzindizes von 0 bis \(N-1\).
Wenn du also eine FFT-Analyse durchführst und zwei Peaks bei den Indizes 1 und \(N-1\) (wo \(N\) die Anzahl der Punkte ist) findest, bedeutet dies, dass diese Peaks die Grundfrequenz deines Signals bzw. dessen Spiegelung repräsentieren.
Berechnung der Frequenz
Angenommen, deine Abtastrate ist genau so gewählt, dass sie 180 Punkte innerhalb einer Periode des 50Hz Signals abdeckt, dann ist die Grundfrequenzkomponente bei Index 1 und dessen Spiegel bei Index \(N-1\).
Die tatsächliche Frequenz für den Peak bei Index 1 ist:
\(
f_1 = \frac{1 \cdot F_s}{N}
\)
Da wir jedoch \(F_s\) nicht direkt gegeben haben, aber wissen, dass eine vollständige Periode des 50Hz-Signals abgebildet wird, können wir uns auf den Umfang der FFT beziehen, um zu klären, wie die Frequenz des Eingangssignals ermittelt werden kann.
Harmonische Oberwellen und die Anzahl der berechenbaren Komponenten
Bezüglich deiner Frage, ob bis zur 180. Harmonischen berechnet werden kann: Theoretisch zeigt die FFT Ausgabe Frequenzkomponenten bis zu einem Maximum, das durch die Hälfte der Abtastfrequenz gegeben ist, bekannt als die Nyquist-Frequenz. Jenseits dieser Frequenz tritt Aliasing auf. In deinem Fall, mit 180 Abtastpunkten pro Periode des Eingangssignals, kann man die harmonischen Frequenzen bis zu dieser Grenze beobachten. Die Anzahl der eindeutig bestimmbaren Frequenzkomponenten (ohne Aliasing) wäre jedoch \(N/2\), wenn \(N\) die Anzahl der Datenpunkte ist.
Um die Peaks korrekt zu interpretieren:
- Die Peaks bei Index 1 und \(N-1\) entsprechen der Grundfrequenz und deren Spiegelung im Frequenzspektrum.
- Die Frequenz kann basierend auf der Position des Peaks und der Samplingrate berechnet werden.
- Ohne Kenntnis der genauen Abtastrate kann eine direkte Übersetzung der Indexpositionen zu Frequenzen herausfordernd sein, es sei denn, es wird davon ausgegangen, dass die Abtastung speziell so entworfen wurde, dass sie 180 Punkte pro 50Hz Signalzyklus umfasst.
Zusammenfassung
Ja, du kannst die Frequenz des Sinussignals mit Hilfe des Amplitudenspektrums bestimmen. Die Tatsache, dass Peaks bei den FFT-Indexpositionen 1 und \(N-1\) sichtbar sind, deutet darauf hin, dass dein Signal dominant eine Frequenzkomponente enthält. Die Berechnung von harmonischen Oberwellen ist prinzipiell bis zur Hälfte der Abtastrate möglich, wobei das exakte Verständnis der Mapping-Beziehung zwischen FFT-Index und Frequenz eine Rolle spielt.
