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Entropieänderung bei Mischung von Wasser und Tinte
Entropie ist ein physikalisches Konzept, das die Unordnung oder Zufälligkeit in einem System beschreibt. In thermodynamischen Systemen ist Entropie ein Maß für die Anzahl der spezifischen Weisen, in denen ein System intern organisiert sein kann, und wird häufig mit der Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines bestimmten Zustands in Verbindung gebracht.
Für dein Beispiel mit Wasser und Tinte betrachten wir die Entropieänderung als Resultat der Mischung zweier Substanzen. Wenn wir die Anzahl der Mikrozustände vor und nach der Mischung vergleichen, können wir die Änderung der Entropie berechnen. Die Anzahl der Mikrozustände (\(W\)) eines Systems kann mithilfe der Fakultät der Anzahl der Teilchen bestimmt werden, wobei für Gemische häufig die Stirlingsche Näherung für die Fakultäten großer Zahlen herangezogen wird.
Berechnung der Entropieänderung
Gegeben:
- Anzahl der Wassermoleküle (\(N_{W}\)) = 90
- Anzahl der Tintenmoleküle (\(N_{T}\)) = 10
- Gesamtanzahl der Teilchen (\(N_{Ges}\)) = 100
Vor der Mischung:
- Anzahl der möglichen Mikrozustände (\(W_{vor}\)) ist die Summe der Mikrozustände der getrennten Systeme:
\(W_{vor} = N_{W}! + N_{T}!\)
Nach der Mischung:
- Anzahl der möglichen Mikrozustände (\(W_{nach}\)) ist:
\(W_{nach} = N_{Ges}!\)
Anwendung der Fakultät
Die von dir berechneten Werte mit der Fakultätsfunktion für die Mikrozustände sind:
- Vor der Mischung: \(90! + 10! = 1,4857159644817615 \times 10^{138}\)
- Nach der Mischung: \(100! = 9,332621544394415 \times 10^{157}\)
Deine Berechnungen sind korrekt im Hinblick auf die Fakultätsfunktion. Allerdings ist deine Interpretation der Summierung der Mikrozustände vor der Mischung nicht ganz korrekt für die Bestimmung der Entropieänderung. Stattdessen sollten wir das Verhältnis (oder den Logarithmus des Verhältnisses) der Mikrozustände für die Berechnung der Entropieänderung betrachten.
Verbesserung und korrekte Interpretation
Die Entropie \(S\) ist proportional zum natürlichen Logarithmus der Anzahl der Mikrozustände (\(W\)), wobei \(k\) die Boltzmann-Konstante ist:
\(S = k \ln(W)\)
Die Änderung der Entropie, \(\Delta S\), bei der Mischung könnten wir so näherungsweise formulieren:
\(\Delta S = S_{nach} - S_{vor} = k \ln(W_{nach}) - k \ln(W_{vor})\)
Da die tatsächliche Entropieänderung jedoch nicht als einfache Summe der Entropie der getrennten Systeme berechnet wird, sondern auf Basis der Gesamtorganisation und -verfügbarkeit von Mikrozuständen nach der Mischung, würde die obige Berechnung für \(W_{vor}\) nicht direkt als Summe der Fakultäten angewendet.
Für akademische Genauigkeit sollte man bei der Entropieberechnung im Kontext von Mischungen eher auf das Konzept der Mischungsentropie und Gibbscher Mischungsentropie zurückgreifen. Hierzu verwendet man üblicherweise die Gleichung:
\(\Delta S_{Mischung} = -nR(x_{1}\ln(x_{1})+ x_{2}\ln(x_{2}))\)
wobei \(x_{1}\) und \(x_{2}\) die Molenbrüche der Komponenten und \(R\) die Gaskonstante darstellen. Dies ist eine näherungsweise Formulierung, da deine Annahme mit diskreten Teilchen und ohne Berücksichtigung von Volumen oder Druckänderungen arbeitet.
Dein Ansatz reflektiert jedoch ein gutes konzeptuelles Verständnis der Entropie in Bezug auf die Anzahl der Mikrozustände.
