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Festigkeitsnachweis für statische Belastungen an der Stelle A
Zur Durchführung eines Festigkeitsnachweises bei einer solchen Konstruktion, muss zuerst die Art und Größe der Belastungen und die resultierenden Schnittgrößen an der kritischen Stelle, in diesem Fall bei Punkt A, ermittelt werden. Danach werden die Spannungen berechnet und mit den zulässigen Werten verglichen.
1. Schritt: Klärung der Belastung
Basierend auf der Beschreibung und im Ermangeln spezifischer Werte für Fl, Fm und Fw, müssen wir annehmen, dass Fl und Fm die statischen Lasten darstellen (z.B. das Gewicht der Leuchten und des Querträgers sowie das Eigengewicht des Masts selbst), während Fw die dynamische Last aufgrund von Wind darstellt.
Für den Festigkeitsnachweis unter statischen Lasten fokussieren wir uns auf Fl und Fm.
2. Schritt: Festlegen des zu untersuchenden Querschnitts
Wir betrachten die Stelle A, da hier der Festigkeitsnachweis durchgeführt werden soll.
3. Schritt: Ermittlung der Schnittgrößen durch Freischneiden
Um die an der Stelle A wirkenden Schnittgrößen zu ermitteln, nehmen wir an, dass das System im Gleichgewicht ist. Das bedeutet, dass die Summe aller Kräfte und Momente gleich null sein muss.
Angenommen, Fl wirkt in einem Abstand \(l_1\) vom Punkt A und Fm in einem Abstand \(l_2\), wobei A der Fußpunkt des Mastes ist und die Abstände senkrecht zur Wirkungslinie der Kräfte messen. Die exakte Einbindung von Fw in den statischen Festigkeitsnachweis wird erst in einem späteren Schritt relevant, in dem dynamische Lasten berücksichtigt werden.
Zur Vereinfachung und ohne konkrete Zahlenwerte kann man das Vorgehen zur Berechnung des resultierenden Biegemoments \(M_{\text{B}}\) bei A wie folgt skizzieren:
\(M_{\text{B}} = F_l \cdot l_1 + F_m \cdot l_2\)
Dieses Moment muss vom Querschnitt bei A aufgenommen werden können, ohne dass es zu einem Bruch kommt.
4. Schritt: Spannungsberechnung
Die im Querschnitt resultierende Biegespannung \(\sigma_{\text{B}}\) kann mit der Formel
\(\sigma_{\text{B}} = \frac{M_{\text{B}}}{W}\)
berechnet werden, wobei \(W\) das Widerstandsmoment des Querschnitts ist. Das Widerstandsmoment hängt von der Geometrie des Querschnitts ab und kann für gängige Formen wie Rechteck, Kreis etc. aus Nachschlagewerken entnommen oder berechnet werden.
5. Schritt: Vergleich mit zulässigen Werten
Um zu prüfen, ob der Mast bei der Stelle A gegen Bruch durch die statischen Lasten geschützt ist, muss die berechnete Spannung \(\sigma_{\text{B}}\) mit der zulässigen Spannung \(\sigma_{\text{zul}}\) verglichen werden. Die zulässige Spannung hängt vom Material des Masts ab und berücksichtigt Sicherheitsfaktoren:
\(\sigma_{\text{B}} \leq \sigma_{\text{zul}}\)
Ist diese Bedingung erfüllt, ist der Festigkeitsnachweis für die statischen Lasten an der Stelle A positiv, und es kann davon ausgegangen werden, dass der Mast diesen Lasten standhält. Andernfalls müssen Maßnahmen zur Verstärkung des Masts oder zur Reduzierung der Lasten ergriffen werden.
Ohne spezifische Werte für Fl, Fm, \(l_1\), \(l_2\) und die Querschnittsgeometrie ist eine detaillierte Berechnung nicht möglich. Ebenso ist die genaue Ermittlung von \(W\) und der Vergleich mit einem zulässigen Wert nicht ohne weitere Angaben durchführbar.
