Beschleunigtes Elektron. Was ist seine Wellenlänge

Question

Aufgabe:

Ein Elektron wurde mit 15kV beschleunigt. Wie gross ist die ihm zugehörige Wellenlänge nach de Broglie?

Problem/Ansatz:

Ansätze habe ich 2. Aber sie stimmen nicht mit der Lösung überein.

Ansatz 1: $$\lambda = h/p, p=E/c$$ → https://www.wolframalpha.com/input/?i=h%2F(15keV%2Fc)&assumption=%22UnitClash%22+-%3E+%7B%22h%22,+%7B%22PlanckConstant%22%7D%7D&assumption=%22UnitClash%22+-%3E+%7B%22keV%2Fc%22,+%7B%22KiloelectronvoltsPerSpeedOfLight%22,+%22dflt%22%7D%7

Oder Ansatz 2:

$$E = h *f,   \\f=c/\lambda, \\ E=15keV\\ \lambda=c/f \\ f= E/h \\ \lambda = c/(E/h)$$

--> https://www.wolframalpha.com/input/?i=c%2F(15keV%2Fh)&assumption=%22UnitClash%22+-%3E+%7B%22c%22,+%7B%22SpeedOfLight%22,+%22dflt%22%7D%7D&assumption=%22UnitClash%22+-%3E+%7B%22h%22,+%7B%22PlanckConstant%22%7D%7D&assumption=%22UnitClash%22+-%3E+%7B%22keV%22,+%7B%22Kiloelectronvolts%22,+%22dflt%22%7D%7D

Das Beruhigende ist ja, dass ich wenigstens bei beiden Berechnungen das gleiche Ergebnis bekomme. Das Problem ist jedoch, dass Problem ist jedoch, dass in den Lösungen steht 1 * 10^-11

Kann mir jemand bitte helfen?

Answer 1

Salut,

ein Elektron erfährt laut Aufgabe eine Beschleunigungsspannung von 15000 V und gewinnt dadurch die kin. Energie

E_kin  =  1/2 mv²

Elektrische Energie (Ue) und kinetische Energie kann man aufgrund der Energieerhaltung gleichsetzen, sodass gilt:

Ue  =  1/2 mv²

(m ist hierbei die Masse des Elektrons.)

Um nun den Impuls berechnen zu können, bedarf es der Geschwindigkeit des Elektrons. Dafür stelle die Gleichung um nach v:

v = √(2 * Ue / m_e)

Daraus folgt:

v = √(2 * 15000 V * 1,602 * 10^-19 C  /  (9,109 * 10^-31 kg)

v  =  72636767.55 m/s

Mit diesem Wert ist es nun möglich, den Impuls (p) des Elektrons zu berechnen:

p  =  m* v  =  9,109 * 10^-31 kg * 72636767.55 m/s  =  6.61648 * 10^-23 kg m s^-1

Diesen berechneten Impuls einsetzen in die de - Broglie - Gleichung:

λ_de-Broglie  =  Plancksches Wirkungsquantum h /  p

λ_de-Broglie  =  6.626 * 10^-34 Js  /  6.61648 * 10^-23 kg m s^-1  =  1.001 * 10^-11 m

Schöne Grüße :)

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Vielen Dank für deine Antwort, kannst du mir bitte eine Herleitung des Impulses geben? (Bzw. einen Link dazu?)

Vielen Dank für deine Antwort im Voraus.

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Pardon, ich hatte in meiner Antwort einen wichtigen Schritt unterlassen.

Nach Überarbeitung und ausführlicherer Gestaltung komme ich nun exakt auf das Ergebnis deiner Lösungsvorgabe.

Damit müsste auch deine Frage nach Herleitung des Impulses geklärt sein.

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Vielen Dank für deine super Hilfe!

Answer 2

Hallo

richtig ist λ=h/p falsch ist für Teilchen mit Masse p=E/c denn p=m*v , p^2=E*2m , ob du relativistisch rechnen sollst weiss ich nicht?

deine beiden Rechnungen gelten für Photonen der Energie 15keV, nicht für Elektronen. (dass die sich nicht mit c bewegen weisst du eigentlich.)

Gruß lul

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Vielen Dank für deine Antwort, da hatte ich wohl ein kleines Durcheinander mit den Formeln...

Answer 3

Hallo,

Energie eines geladenen Teilchens, dass mit Spannung U  beschleunigt wird:

E=e*U

wird vollständig in kin. Energie umgewandelt: E=p^2/2m , p=sqrt(2mE) , darin e*U einsetzen

p=sqrt(2meU)

Wellenlänge nach de Broglie:

λ=h/p=h/sqrt(2meU)=sqrt(h^2/(2meU))

Relativistisch muss man erst ab 50kV rechnen, hier ist die Abweichung<1% .

Eingesetzt ergibt sich λ=10^{-11} m

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt((planck+constant)%5E2%2F(2*(mass+of+electron)*(elementary+charge)*15kV))

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Vielen Dank für deine grossartige Hilfe!