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Knickung nach Tetmajer für einen abgesetzten Stab
Die Knickung eines Stabes nach Tetmajer involviert eine Geschwindigkeitsvergleichsmethode, bei der man für verschiedene Abschnitte eines Bauteils mit unterschiedlichen Eigenschaften (hier unterschiedlichen Durchmessern) berechnen muss, welche Teile des Bauteils am wahrscheinlichsten zuerst knicken werden. In der Realität wird dies durch die Berechnung der Knicklast oder Knickspannung für jeden Abschnitt des Bauteils erreicht. Für einen abgesetzten Stab, wie in der Frage beschrieben, mit unterschiedlichen Durchmessern, muss jeder Abschnitt tatsächlich einzeln betrachtet werden.
Berechnungen nach Tetmajer
Ludwig von Tetmajer entwickelte eine empirische Formel für die Berechnung der kritischen Knickspannung \(\sigma_k\) für schlanke Stäbe. Die von Tetmajer vorgeschlagene Formel variiert je nach Material, aber für die meisten Eisen- und Stahlarten gilt eine Formel der Gestalt:
\(
\sigma_k = a - b \cdot \lambda
\)
wobei:
- \(\sigma_k\) die Knickspannung ist,
- \(a\) und \(b\) materialabhängige Konstanten sind,
- \(\lambda\) der Schlankheitsgrad des Stabes ist.
Der Schlankheitsgrad \(\lambda\) wird durch das Verhältnis der effektiven Länge \(L\) des Stabes zu seinem Trägheitsradius \(i\) definiert, also \(\lambda = \frac{L}{i}\). Der Trägheitsradius \(i\) ist wiederum durch \(i = \sqrt{\frac{I}{A}}\) gegeben, wobei \(I\) das minimale Flächenträgheitsmoment des Querschnitts und \(A\) die Querschnittsfläche ist.
Berechnung für abgesetzten Stab
Für einen abgesetzten Stab mit unterschiedlichen Durchmessern würde man folgende Schritte durchführen:
1.
Berechne für jeden Abschnitt den Schlankheitsgrad:
- Bestimme das minimale Flächenträgheitsmoment \(I\) und die Querschnittsfläche \(A\) für jeden Durchmesser.
- Berechne den Trägheitsradius \(i = \sqrt{\frac{I}{A}}\).
- Bestimme die effektive Länge \(L\) jedes Abschnitts. Die effektive Länge hängt von der Art der Einspannung des Stabes ab. Bei einer Veränderung des Durchmessers könnte man argumentieren, dass jedes Segment so behandelt werden sollte, als ob es an einem Ende fest eingespannt wäre und am anderen Ende frei, vor allem, wenn man die Stabilität des jeweiligen Segments separat bewerten möchte.
2.
Anwendung der Tetmajer-Formel für jeden Abschnitt:
- Mit dem Schlankheitsgrad jedes Abschnitts, wende die Tetmajer-Formel an, um die Knickspannung für jedes Segment zu berechnen.
3.
Gesamte Knickbelastung bestimmen:
- Nachdem die kritische Spannung für jeden Abschnitt bekannt ist, wird der Abschnitt mit der geringsten Knickspannung bzw. -last der limitierende Faktor für die gesamte Konstruktion sein. Dies ist, weil das Material in diesem Abschnitt zuerst versagen würde.
4.
Berücksichtigung der Gesamtlänge:
- Die Gesamtlänge spielt eine Rolle bei der Bestimmung des Schlankheitsgrads für jeden Abschnitt, vorausgesetzt, man betrachtet die effektive Länge (\(L\)) korrekt. Es könnte nötig sein, unterschiedliche Fälle zu berücksichtigen, je nachdem, wie die Lasten und die Einspannbedingungen verteilt sind.
Durch dieses Verfahren kann man die kritischen Bereiche eines abgesetzten Stabes identifizieren und angemessene Maßnahmen ergreifen, um die Stabilität der gesamten Konstruktion zu verbessern. Wichtig ist hierbei, dass jeder Abschnitt individuell betrachtet wird, um eine präzise Vorhersage der Knickbelastung und der damit verbundenen Sicherheit der Konstruktion zu gewährleisten.
