Antwort mit KI erzeugt
Teil a: Ermittlung des Neigungswinkels \( \beta \) für 50% der maximalen Haftkraft
Um den Winkel \( \beta \) zu finden, bei dem 50% der maximalen Haftkraft ausgenutzt wird, betrachten wir zunächst die Kräfte, die auf den Baucontainer wirken. Die maximale Haftkraft \( F_{\text{max}} \) tritt auf, wenn der Container im Begriff ist, sich zu bewegen, aber noch in Ruhe ist. Diese Kraft wird durch den Haftreibungskoeffizienten \( \mu_s \) (in diesem Fall \( \mu_n \)) und die Normalkraft \( N \), mit der der Container auf die Unterlage drückt, bestimmt.
Die Gewichtskraft \( \vec{G} \) des Containers kann in zwei Komponenten zerlegt werden: eine parallel (\( G_{\parallel} \)) und eine senkrecht (\( G_{\perp} \)) zur schiefen Ebene.
- \( G_{\parallel} = m \cdot g \cdot \sin(\beta) \)
- \( G_{\perp} = m \cdot g \cdot \cos(\beta) \)
Die Haftkraft \( F_{H} \) wirkt der parallelen Komponente der Gewichtskraft entgegen und ist durch \( F_{H} = \mu_n \cdot N \) gegeben. Da die Normalkraft \( N \) der Komponente der Gewichtskraft senkrecht zur Ebene entspricht, gilt \( N = G_{\perp} = m \cdot g \cdot \cos(\beta) \).
Die maximale Haftkraft \( F_{\text{max}} \) beträgt daher \( F_{\text{max}} = \mu_n \cdot m \cdot g \cdot \cos(\beta) \).
Um jedoch nur 50% der maximalen Haftkraft auszunutzen, setzen wir an:
- \( 0.5 \cdot F_{\text{max}} = 0.5 \cdot \mu_n \cdot m \cdot g \cdot \cos(\beta) \)
Da die Haftkraft der parallelen Komponente der Gewichtskraft entgegenwirkt, bedeutet eine Ausnutzung von 50%, dass
- \( 0.5 \cdot \mu_n \cdot m \cdot g \cdot \cos(\beta) = m \cdot g \cdot \sin(\beta) \)
Kürzen wir \( m \cdot g \) und lösen die Gleichung nach \( \beta \) auf, erhalten wir:
- \( 0.5 \cdot \mu_n \cdot \cos(\beta) = \sin(\beta) \)
Umstellen ergibt:
- \( \tan(\beta) = \frac{0.5 \cdot \mu_n}{1} \)
Für \( \mu_n > \mu_0 \) (angenommen \( \mu_n = x \)), wobei \( x \) ein bestimmter Wert für \( \mu_n \) ist, können wir nicht direkt fortschritteln, ohne den genauen Wert zu kennen. Für den allgemeinen Fall transformieren wir die obige Formel in eine explizitere Form:
- \( \beta = \arctan(0.5 \cdot \mu_n) \)
Teil b: Berechnung der externen Kraft \( \vec{F} \) als Vielfaches von \( m g \)
Gegeben ist, dass der Körper nun mit einer Beschleunigung von \( a = 0.3g \) in die positive \( x \)-Richtung beschleunigt wird, wobei \( \mu_n = 0.60 \), \( \mu_0 = 0.30 \) und \( \beta = 60^{\circ} \).
Die parallele Komponente der Gewichtskraft bleibt \( G_{\parallel} = m \cdot g \cdot \sin(\beta) \) und die Normalkraft \( N = m \cdot g \cdot \cos(\beta) \). Die Reibungskraft \( F_R \) beträgt \( F_R = \mu_k \cdot N = \mu_0 \cdot m \cdot g \cdot \cos(\beta) \), da sich der Körper bewegt.
Die externe Kraft \( F \) wird benötigt, um sowohl die Reibung zu überwinden als auch die Beschleunigung des Körpers zu gewährleisten:
- \( F = m \cdot a + F_R = m \cdot 0.3g + \mu_0 \cdot m \cdot g \cdot \cos(\beta) \)
Mit \( \beta = 60^{\circ} \), wird dies zu:
- \( F = m \cdot 0.3g + 0.30 \cdot m \cdot g \cdot \cos(60^{\circ}) \)
- \( F = m \cdot 0.3g + 0.30 \cdot m \cdot g \cdot 0.5 \)
- \( F = 0.3m \cdot g + 0.15m \cdot g \)
- \( F = 0.45m \cdot g \)
Damit beträgt der Betrag der Kraft \( \vec{F} \) als Vielfaches von \( m g \) \( 0.45 \).
