Aufgabe zur mechanischen Schwingung

Question

Ein ungedämpfter Federschwinger mit einer Masse von 3kg und einer Frequenz von 0,5Hz wird zur Zeit t=0s bei einer Auslenkung von 4cm aus der Ruhe losgelassen.

a) Ermittle die Federkonstante in N/m und Spannenergie in J bei maximaler Auslenkung.

b) Bestimme die Geschwindigkeit in m/s und kinetische Energie in J der Schwingung nach einer (Schwing-) Zeit von 3,4 sek.

Answer 1

Periode der Schwingung T = 2*pi* wurzel( m/D) mit Federkonstante D
Wegen Frequenz 0,5 Hz ist T = 1/(0,5 Hz) = 2s
Also in T = 2*pi* wurzel( m/D) eingesetzt
2 s = 2*pi* wurzel( 3kg /D)
(1/pi) s = wurzel( 3kg /D)
(1/pi^2 ) s^2 = 3 kg / D
D = 3*pi^2  kg/s^2

Spannenergie bei 4 cm Auslenkung
E = 0,5*D*s^2 = 0,5*3 kg/s^2 *pi^2 * (0,04m)^2
   = 1,5*pi^2 *0,0016 kg*m^2/s^2
  = 0,02369 Nm

= 0,02369 J

Weil Auslenkung bei t=0 maximal

Auslenkung   y(t) = yo*cos( wurzel(D/m)*t) = 0,04*cos(wurzel(  3*pi^2 kg/s^2  / 3kg )*t) m

= 0,04* cos ( pi/s * t ) m

Also Geschwindigkeit   v(t)=y ' (t) = 0,04*pi/s *( - sin ( pi/s * t )) *m= -0,04*pi/s * sin ( pi/s * t )*m

also bei t=3,4s    v(3,4s) = -0,04*pi/s * sin ( pi * 3,4) *m= -0,12566/s* -0,95105 = 0,1195 m/s

Also E _kin = 0,5 * m * v^2 = o,5 * 3kg * 0,1195^2  m^2/s^2 =0,02142 kg*m/ s^2 * m

= 0,02142 N* m = 0,02142 J